文档介绍：数列知识点所有性质总结
数学
一、等差数列
:an-an-1=d(d为常数)(n≥2);
:
an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*) , 首项:a1,公差:d,末项:an
推广: an=am+(n-m)d. 从而d=
(1)如果a,A,b成等差数列,:A=
(2)等差中项:数列{an}是等差数列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2
: a+b或2A=a+b 2an-am; n-m
Sn=n(a1+an)n(n-1)d1=na1+d=n2+(a1-d)n=An2+Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n+1时,an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n+1=(2n+1)(a1+a2n+1)=2(2n+1)an+1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
* (1) 定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(
常数n∈N)? {an}是等差数列.
⑶数列{an}是等差数列?an=kn+b(其中k,b是常数)。(2) 等差中项:数列{an}是等差数列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2.
(4)数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(其中A、B是常数)。
定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(常数n∈N)? {an}是等差数列. *
:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项an=a1+(n-1)d
②奇数个数成等差,可设为?,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d?(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?(注意;公差为2d)
8..等差数列的性质:
(1)当公差d≠0时,
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d; 前n和Sn=na1+n(n-1)ddd=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222
(2)若公差d>0,则为递增等差数列,若公差d<0,则为递减等差数列,若公差d=0,则为常数列。
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数学
(3)当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.
注:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=???,
(4)若{an}、{bn}为等差数列,则{λan+b},{λ1an+λ2bn}都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n ,?也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k∈N)项取出一项(am,am+k,am+2k,am+3k,???)仍为等差数列
(7)设数列{an}是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
, *
S奇=a1+a3+a5+???+a2n-1=n(a1+a2n-1)=nan 2
n(a2+a2n)S偶=a2+a4+a6+???+a2n==nan+1 2
S偶-S奇=nan+1-nan=n(an+1-an)
S奇nana==n S偶nan+1an+1
2、当项数为奇数2n+1时,则
?S奇n+1?S2n+1=S奇+S偶=(2n+1)an+1??S奇=(n+1)an+1??= ??S-S=aS=naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
则
(9)等差数列{an}的前n项和Sm=n,前m项和Sn=m,则前m+n项和Sm+n=-(m+n)
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊
性n∈N。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和*An=f(n), nan(2n-1)anA2n-1===f(2n-1). nn2n-1
?an≥0即当a1>0,d<0, 由?可得Sn达到最大值时的n值. a≤0?n+1