文档介绍：数列部分
一、数列的概念
,记作a1,a2,a3 an, ,简记{an}.
项公式。
(或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法
数列的表示方法有:列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示)。
三、数列的分类
1. 按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。
2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。
3. 从函数角度考虑分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
四、数列通项an与前n项和Sn的关系
=a1+a2+a3+ +an=*{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出,则这个公式叫做这个数列的通∑a
i=1ni
?=??Sn-Sn-1
知识要点
n=1n≥2 等差数列
递推关系:an+1-an=d
通项公式:an=a1+(n-1)d
推广:an=am+(n-m)d
变式:a1=an-(n-1)d;
an-a1
n-1
an-amd=n-md=
特征:an=dn+(a1-d),
即:an=f(n)=kn+m,(k,m为常数)
an=kn+m,(k,m为常数)是数列{an}成等差数列的充要条件。
:
若a,b,c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=
条件。
a+c;a,b,c成等差数列是2b=a+c的充要2
Sn=(a1+an)nn(n-1)d ; Sn=na1+ 22
1
特征:Sn=
d2dn+(a1-)n,22即Sn=f(n)=An2+Bn
Sn=An2+Bn(A,B为常数)是数列{an}成等差数列的充要条件。
特别地,当项数为奇数2n+1时,an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n+1=
(2n+1)(a1+a2n+1)=
2
(2n+1)an+1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
*
(1) 定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(常数n∈N)? {an}是等差数列. (3) 数列{an}是等差数列?an=kn+b(其中k,b是常数)。
定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(常数n∈N)? {an}是等差数列.
*
(2) 等差中项:数列{an}是等差数列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2. (4) 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(其中A、B是常数)。
:
(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率
n(n-1)dd
d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222
(2)若公差d>0,则为递增等差数列,若公差d<0,则为递减等差数列,若公差d=0,则为常数列。(3)当m+n=p+q时,则有
am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.
为公差d;前n和Sn=na1+
若m1+m2+.......+mn=n1+n2+.......+nn 则am1+am2+......amk=an1+an2+......ank
(4)若{an}、{bn}为等差数列,则{λan+b},{λ1an+λ2bn}都为等差数列
sn1
snn3nn2=An+B 点列(n,n)一定同线,则1 =2
nn1-n2n2-n3
a2aa+aA
{an} {bn}都是等差数列,记前n项和分别是An Bn ,n=n=12n-1=2n-1
bn2bnb1+b2n-1B2n-1
an2ana1+a2n-1A2n-12m-1
===?
bm2mb1+b2n-1B2m-12n-1
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n ,?也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k∈N)项取出一项(am,am+k,am+2k,am+3k,???)仍为等差数列
(7)设数列{an}是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
,
*
-
sn2sn2
-
sn3
S奇=a1+a3+a5+???+a2n-1=
n(a1+a2n-1)