文档介绍：该【贝叶斯统计复习】是由【mama】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【贝叶斯统计复习】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。贝叶斯统计****题
是一批产品的不合格率,从中抽取8个产品进行检验,发现3个不合格品,假如
先验分布为(1)U(0,1)
2(1-),0<<1
(2)()=
0,其它
求的后验分布。
解:
…
1112
mxp(x|)dC33(1)5*2(1)d1123(1)6d
008015
p(x|)
x8403(1)6,01
mx
,x,,x是来自均匀分布U(0,)的一个样本,又设的先验分布为Pareto分
12n
布,其密度函数为
/+1,>
()=00
0,
0
其中参数>0,>0,证明:的后验分布仍为Pareto分布。
0
解:样本联合分布为:
1
p(x),0x
n
/1,
()00
0,
0
(x)p(x)()/n11/n1,max,x,,x
0101n
|
因此的后验分布的核为1/n1,仍表现为Pareto分布密度函数的核
(n)n/n1,
即(x)11
0,
1
即得证。
,x,,x是来自指数分布的一个样本,指数分布的密度函数为p(x|)=e-x,x>0,
12n
(1)证明:伽玛分布Ga(,)是参数的共轭先验分布。
(2)若从先验信息得知,先验均值为,先验标准差为,确定其超参数,。
解:
n
x
ninnx
1样本的似然函数:p(x)ei1e

()1e

参数的后验分布(x)p(x)()n1e(nx)
服从伽马分布Gan,nx.
、



(2)4,20000.


2
,检查是一个接一个的进行,直到发现第一个不合格品停
止检查,若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数,则X服从几何分布,其分布列
为P(X=x|)=1-x-1,x=1,2,
假如只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值x=3,求的最大
后验估计ˆ。
MD
解:的先验分布为
在给定的条件下,X=3的条件概率为
#
联合概率为
X=3的无条件概率为
的后验分布为
5。设x是来自如下指数分布的一个观察值,
p(x|)=e-(x-),x
;
取柯西分布作为的先验分布,即
1
=,-<<
1+2
求的最大后验估计ˆ。
MD
解后验密度
*
=(x,x,,x)是来自均匀分布U(0,)的一个样本,又设服从Pareto分布,密度
12n
函数为
/+1,>
()=00
0,
0
求的后验均值和后验方差。
/1,
解:的先验分布为:()00
0,
0
令max,x,,x
101n
(n)n/n1,
可得后验分布为:(x)11
0,
1
@(n)
则的后验期望估计为:E(x)1,
n1
(n)2
后验方差为:Var(x)1.
(n1)2(n2)
n1
(,),的分布为倒伽玛分布IGa(,),
22
nx
(1)证明:在给定x的条件下,的后验分布为倒伽玛分布IGa(+,+)。
22
(2)求的后验均值与后验方差。
n1
解:由x~Ga(,),~IGa(,)可以得出
22
1n
()2
n1
21x
p(x)x2e2,x0
n
()
2


()(1)e,0
()
(
(1)的后验分布为:
nx2
(1)
(x)p(x)()2e2
nx
即为倒伽玛分布IGa(,)的核。
22
nx
所以的后验分布为IGa(,)
22
x

2x2
(2)后验均值为E(x)
n
1n22
2
x
()2
2
后验方差为Var(x)
nn
(1)2(2)
22
(,1)作观察,获得三个观察值:2,3,5,若的先验分布为N(3,1),
求的可信区间。
,其密度函数为
{
p(x|)=-1exp{-x/},x>
若未知参数的先验分布为倒伽玛分布IGa(1,)。计算该种元件在时间200之前失
效的边缘密度。
解:
解:依题意
1x
pxexp,x0


2exp,0

x
则mxpxd3expd
0


,x0
x2
该元件在时间200之前失效的概率:

p200mxdx200dx
00x2
,X,,X相互独立,且XP,i=1,,n。若,,,是来自伽玛分布
12nii12n
Ga,的一个样本,找出对X=(x,x,,x)的联合边缘密度。
12n
解:
解:依题意
x
i

pxiei
iix!
i

1
ei,0
iii
x
i
1
mxpxdieieid
iiiii0x!ii
i

x
xi
1ix!
i
n
nnx
mxmxi
ix
i1i11ix!
i
,如今有三个方案供选择:改建本厂原有生产线(a),
1
从国外引进一条自动化生产线(a);与兄弟厂协助组织“***”生产线(a)。厂长预
23
计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种:较高();一般();较低()。
123
700980400

假设其收益矩阵为(单位:万元),Q=250-50090

-200-800-30
、
假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高,中,低,给出的主观概率分别为,,。求在悲观
准则,乐观准则,和先验期望准则下的最优行动。
解:悲观准则下:先行动首a,a,a的最小收益分别为-200,-800,-30,。然后选出其
123
中最大的收益为-30,从而最优行动为a
3
乐观准则下:先行动首a,a,a的最大收益分别为700,980,400,。然后选出其中
123
最大的收益为980,从而最优行动为a。
2
先验期望准则下:各行动的先验期望收益为
从而最优行动为a。
1
,市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间,
-,500
已知其收益函数为Q(,a),假设的先验分布为
,2000
500,2000上的均匀分布,该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大
解:先验期望收益为
。
当a=1343时,先验期望达到最大,故应购进1343公斤苹果。
18+20,=a
,a1,若服从0,10上的均匀分
-12+25,=a
2
布,
(1)求该决策问题的损失函数。
(2)在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。
解:
182012256
0
当6时,Q,aQ,a,则在a和a处的损失函数为
1212
L,a0
1
L,a305
2
当6时,Q,aQ,a,则在a和a处的损失函数为
1212
L,a530
1
L,a0
2
服从0,10上的均匀分布
1
La10530d4
1610
1
La6305d9
2010
最优行动是a.
1
,假设每束花的购进价格为1元,售价为6元,
若当天卖不掉,因枯萎而不能再卖。根据经验一天至少能卖5束鲜花,最多能卖10束鲜花。
(1)写出状态集和行动集。
(2)
%
写出收益函数。
(3)
(4)在折中准则下,对乐观系数的不同值,讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花
为好。
解:
1状态集5,6,7,8,9,10,行动集5,6,7,8,9,10
2收益函数
5a,a10
Q,a
6a,5a
收益矩阵
aaaaaa
123456
252423222120
1
253029282726
2
253035343332
Q3
253035403938
4
253035404544
5
253035404550
6
3按折中准则:
HmaxQ,a1minQ,a

H25
1
H246
2
H2312
3
H2218
4
H2124
5
H2030
6
1
当0时,选择a,每天摘5朵鲜花
61
:
1
当1时,选择a,每天摘10朵鲜花.
66
-12+25,a=a
,收益函数为Q,a1
18+20,a=a
2
若N(10,42),计算先验EVPI。
bb
解:216
0mm
21
~N10,42,E10,mm,最优行动为a
122
tmm5,4,10,6
120

D01,LDL1
0N0N
EVPILD*t**5*4
N0
-12+25,a=a
,收益函数为Q,a1
18+20,a=a
2
若N(10,2),对=4,3,2,1,分别计算先验EVPI。
解:

3,EVPIL0*t*=*5*3=
N

2,EVPIL0*t*=*5*2=
N

1,EVPIL0*t*=*5*1=
N