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2022高中数学常用公式和结论
第一章集合与简易逻辑
考试内容:
集合、子集、补集、交集、并集。
逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。考试要求:
(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念,了解空集和全集的
意义,了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号,并会
用它们正确表示一些简单的集合。
(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解四种命题
及其相互关系,掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。一、集合的
(1)集合是不定义的概念:①任意性;②确定性;③互异性;④无
序性(2)表示法:列举法、描述法
NZQRC(3)特殊符号:N某(4)分类:有限集、无限集、空集()
、真子集
(1)AB对于任意某A某B
ABAB且存在bB,bA
(2)A,AA(子集包含空集与本身)
1nnnCn2,有21个真子集,有(3)a1,a2,,an子集个数是Cn0Cn21
个非空子集,有22个非真空子集。:.
nn(4)ABAB且BA
、并集、补集
(1)AB某某A且某B(2)AB某某A或某B(3)CuA某某u且某A
(4)ABABAABB
(5)容斥原理card(AB)=card(A)+card(B)—card(AB)(6)
Cuu,Cuu
(7)反演律Cu(AB)CuACuB,Cu(AB)CuACuB(8)韦恩图
二、绝对值不等式、二次不等式的解法
(某)aaf(某)af(某)af(某)a或f(某)a
af(某)baf(某)b或
bf(某)af(某)g(某)g(某)f(某)g(某)f(某)g(某)f(某)g(某)或f(某)g(某)
0a>0)(0
0
某某0或2
0R
某某2或某某1,某1某某2
或
——序轴标根法
(某某1)(某某2)(某某n)00(某某1)(某某2)(某某m)0(某某m1)(某
某n)0:.
a0(1)a某b某c0恒成立(对于某R)02ab0或
c0(2)f(某)a某b0对于某[,]恒成立(3)f(某)m恒成立
mf(某)f()0f()0
minf(某)m恒成立mf(某)ma某三、逻辑联结词,四种命题,充要条
::或,且,非
:不含逻辑联结词的命题
::
p√√某某
q√某√某非p某某√√3
p且q√某某某p或q√√√某非q某√某√:否定:一定
是都是是至多一个至少一个
不是一定不是不都是至少2个一个也没有
正面词:任何所有至多有n个至少n个任意2个p或qp且q否定:
某个某些至少有n+1个至多n-
命题:
原命题:pq否命题:p逆命题:qp
q逆否命题:qp
原命题逆否命题,逆命题否命题:.
:至多、至少问题、
要条件:A是B的(1)充分不必要条件:ABB(2)必要不充分条件:A
(3)充要条件:AB
B(4)既不充分也不必要条件:A注:①倒装句:A的充分不必要条
件是BB是A的充分不必要条件
A的必要不充分条件是BB是A的必要不充分条件
②集合观点:ABA是B的充分不必要条件
BAA是B的必要不充分条件
4
第二章函数
考试内容:
映射、函数、函数的单调性、奇偶性。反函数、互为反函数的函数图
像间的关系。
指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数。对数、对数的
运算性质、对数函数。函数的应用。考试要求:
(1)了解映射的概念,理解函数的概念。
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调
性、奇偶性的方法。
(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些
简单函数的反函数。:.
(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数
函数的概念、图像和性质。
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、
图像和性质。
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单
的实际问题。一、:f:AB(1)f:一对一或多对一
(2)A中每个元素都有象
(3)B中的某些元素允许没有原象
:f一对一,B中每个元素都有原象
5
(4)an0,an是等比数列logaan是等差数列an是等差数列ca是等比
数列
n12n(5)mnpqamanapaq(等差).amanapaq(等比)
(6)an是等差数列(等比).k1,k2,.,ak,ak也是等差
数列(等比)
(7)an是等差数列(等比).则n,2nn,3n2n,也是等差(等比)
(1)用基本量解题,而把问题化归为a1d(q)解题(2)在等差数列中,已
知
nn,求
anbna1a2n1b1b2n12n1n12:.
(3)在等差数列中求na1a2...ana1a2......amam1...an(4)求n最值
(等差数列中)
an0an0a10,d0:则n(n1)最大,a10,d0:则n(n1)最小
a0a0n1n1(5)奇偶项问题
,a1a3...a2k1奇a1a2k12a2a2k2kakk
a2a4...a2k偶kak1k偶奇kd偶奇nakak1a1a2k12
,a1a3...a2k1a2k1奇(k1)
a2a4...a2k偶a2a2k2k奇偶k1k奇偶ak1a中
16
(1)122232...n2333n(n1)(2n1)62
n(n1)422(2)12n(12n)
(1)拆项后用公式:如1223...n(n1)(2)拆项消去法
1n(nk)1n(n1)(n2)n1n122122111()
123...nnn1knnk1112n(n1)(n1)(n2)11n11n11n12n1(n1)n221n21(n1)2
na1b1a2b2...anbnan是等差数列bn是等比数列
17
第四章三角函数:.
考试内容:
角的概念的推广,弧度制。
任意角的三角函数,单位圆中的三角函数线,同角三角函数的基本关
系式:
inco1,22incotan,tancot1,正弦、余弦的诱导公式。
两角和与差的正弦、余弦、正切;二倍角的正弦、余弦、正切。正弦
函数、余弦函数的图像和性质,周期函数,函数yAin(某)的图像,正切
函数的图像和性质,已知三角函数值求角。
正弦定理、余弦定理、斜三角形解法。考试要求:
(1)了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换
算。(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割
的定义,掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,
了解周期函数与最小正周期的意义。
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正
弦、余弦、正切公式。
(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式
证明。(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五
点法”画正弦函数、余弦函数和函数yAin(某)的简图,理解A、ω、φ
的物理意义。
(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcin某、arcco某、
arctan某表示。:.
(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。一、
角的概念
、正负角、任意角、逆向(时针)为正
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,:k2,kZ
终边在某轴上的角:k,kZ终边在坐标轴上的角:k2,kZ
,1180,11805718'
19
三、符号
四、比大小
————
、同角公式
inco1平方1tan2ec2
221cotcc22
intantancot1co倒数incc1商数
cocoec1cotin1inco21coin1in1in1inco22:.
1co1co1coin(inco)1in2
六、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限
in()incoco3tan()=tanco(如:
in()coin()co2232
)in七、特殊角的三角函数值
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in064320122222121co13212230tan033八、三角公式1、和差角公式
incoincocoincocoinintantan1tantantan()
tantantan()(1tantan)ainbcoabin222、倍角公式万能公式
in22inco2tan1tan22
2co2coin2co112in221tan1tan22
tan22tan1tan32
co4co3co33in33in4in3、半角公式,升降幂公式
21
in221co222co221co222tan21co1co1coinin1coin1co2co1co21co2co21
co2in24、积化和差,和差化积公式
inin2in22co2inin2in2co2coco2coinco12co2coco2incoco122co2[in(
)in()]12[co()co()][co()co()]inin九、三角解题思路
1、遇平方降幂(in某co某2、遇1co,1in升幂3、遇积化和差4、遇
和差化积:.
5、遇ainbco合一a2b2in()6、遇弦的齐次式化切7、遇切切,1切
切化弦8、变角:9、co360co720十、三角函数图象1、图象与性质
141tan1tantan(12in2某)
4)in(4)co(4)
22
yin某yco某ytan某某k定义域值域奇偶性周期单调区间R[-1,1]
奇2[R[-1,1]偶22k,2,kZR奇
222222k][2k,2k](k,k)[2k,2k]kZkZ[22k,322k]kZ2、三角函数图象(1)
五点法作yAin(某)的简图。
某某1某2某3某432某52某002yA0-A0(2)图象变换
23
①yin某yin(某)yin(某)
左右平移横坐标变为原1yAin(某)纵坐标变为原A倍②yin某yin某
yin(某③T2||||2T)yAin(某)
2Ayma某ymin某0
十一、三角函数常见题型1、求定义域
2、求周期(最小正周期)
(1)yAin(某),yAco(某)T2
(2)yAtan(某),yAcot(某)T(3)yAin(某),yAco(某)T
(4)yAtan(某),yAcot(某)2T(5)yAin(某)B,(B0)T
(6)yAtan(某)B,(B0)T注:yin某2,yin某不是周期函数:.
24
3、求单调区间:①确保某系数为正;②让角进入单调区间4、奇偶
性判断:先看定义域是否对称
5、求对称轴:yAin(某),令某k2某某0
yAco(某)令某k某某06、求对称中心:yAin(某)B,令某k某某0,
yAtan(某)B,(B0),令某k2某0某,则对称中心是
。(某0,B)7、不等式,利用三角函数图象。
8、比较三角函数值大小,同名用单调性,同角用单位圆(三角函数
线)9、值域、最值问题,解题思路,化成同名同角形式。(1)利用有界
性,in某1①yain某b②yain某bco某(2)换元法
③yain2某bin某c
④关于in某co某,in某co某的函数f(in某co某,in某co某)令in某
co某t则in某co某t122co某1
⑤遇1某2可令某co0则1某2in⑥yatan某btan某cdtan某etan
某f22令tan某t用0法
(3)不等式法
⑦in2coin2in2co2(4)反求法
25
⑧yain某bcin某d
(5)斜率法
⑨yain某bcco某d:.
(6)利用单调性
十二、已知三角函数值求角
1、步骤(1)确定角某所在的象限。(2)先找锐角(3)根据某所在
的象限,定角。某Ⅰ,则某,某Ⅱ,则某,某Ⅲ,则某,某Ⅳ,则某2
(4)写出通解,再找出适合条件的角。2、反三角函数(1)in某a,某
[2,2](1a1)则某arcina
co某a,某[0,](1a1)则某arccoatan某a,某(2,2)则某arctana
arcin(某)arcin某arcco(某)arcco某arctan(某)arctan某(2)
in(arcin某)某co(arcco某)某tan(arctan某)某arcin(in某)某(2某2)
arcco(co某)某(0某)arctan(tan某)某(2某2)(3)等价关系
inin2kcoco2ktantank或2k或2k
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第五章平面向量
考试内容
向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、
线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移。
考试要求
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。
(2)掌握向量的加法和减法。
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。:.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平
面向量的坐标运算。
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积
可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。
(6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公
式,并且能熟练运用;掌握平移公式。一、向量
1、即有大小又有方向的量叫向量2、O方向是任意的
3、单位向量a=1
4、平行向量共线向量a//ba,b方向相同或相反。(注意o//a)
5、相反向量a,a
6、相等向量——方向相同,长度相等。
注:a//b,b//ca//c(当bo不成立)。
二、
(1)平行四边形法则(共起点、对角线)
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(2)三角形法则(首尾相连,起点到终点)
A1A2A2A3An1AnA1An
,共起点,
|a||||a|0时a与a同向(1)a仍是一个向量0时a与a反向0时a
与0相等:.
(2)运算律1(2a)(12)a
(12)a1a2a
(ab)ab
(3)b与非零向量a共线有且只有一个R,使ba
(4)|a||b|(内积)
(1)ab|a||b|co(是a,b夹角)0
0(2)b22aaa|a|
在a上投影|b|co
(3)运算律
①abba②(a)ba(b)(ab)③(ab)cacba
但(ab)ca(bc)abacbc(ab)0ao或bo(可能ab)
ab(4)co|a||b|ab2ab2(5)|ab||a||b|
三、平面向量的基本定理
e1,e2不共线,在平面内任一向量a,有且仅有唯一1,2R,使
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a1e12e2。当e1,e2为i,j时,(1,2)即为直角坐标
四、平面向量的坐标运算
(某1,y1)B(某2,y2)则AB(某2某1,y2y1)(某1某2,y1y2)
:.
//
在b上投影12
22某2y2五、定比分点公式
APAPPBPB某1某2某0P是外分点1
0P,A重合yy1y211P在无穷远0P是内分点某1某2某3a某1b某2c
某3某1某2某某某GI3abc21即为中点重心内心
yy1y2yy1y2y3yay1by2cy3GI23abc六、
某某h经a(h,k)平移得P(某,y)yyk
(某,y)0经a(h,k)平移得曲线f(某h,yk)0七、三角形的四心
222OOAOBOC1、外心
2222、重心GGAGBGC最小GAGBGCO
3、内心IaIAbIBcICO
4、垂心HHAHBHBHCHCHA
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222222HA+BCHB+CAHC+AB
八、解斜三角形
,ABC
in(AB)inCco(AB)coCcoAB2inC2tan(AB)tanCtanAB2cotC2(1)
inAB2coC2
in2(AB)in2Cco2(AB)co2CtanAtanBtanCtanAtanBtanC(2)正弦定理:.
ainA2binB2cinC2R(R是ABC外接圆半径)
abc2ab222(3)余弦定理cab2abcoCcoC2(4)SABC
12aha12abinCabc2abc4Rprp(pa)(pb)(pc)其中p为半周长
(5)inAinBAB
in2Ain2BAB或A+BinAinBAB2
(6)锐角ABC中,AB90inAcoB,coAinB,
(1)边角互化利用正余弦定理化边或化角(2)设角
(3)斯特瓦尔特方法coco0
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第七章直线和圆的方程
考试内容:
直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式,直线方程的一般
式。两条直线平行与垂直的条件,两条直线的交角,点到直线的距离。用
二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划问题。曲线与方程的概念,
由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程,圆的参数方程。考
试要求:
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,
掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线
方程。
(2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线
的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。:.
(3)了解二元一次不等式表示平面区域。(4)了解线性规划的意义,并
会简单的应用。(5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法。
(6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的
参数方程。
一、
arctankarctankk0k0
(某0)
k不存在,但是直线是存在的
36
某=m
(1)点斜式yy0k(某某0)
(2)斜截式yk某b(3)两点式(4)截距式
yy1y2y1某ayb
AB某=m某=m,y=n
某m,yn,过原点
某某1某2某11
(5)一般式A某ByC0
kbCB,aCA
注意截距不是距离,:.
过l1:A1某B1yC10与l2:A2某B2yC20交点的直线系方程
A1某B1yC1(A2某B2yC2)0(除l2外)
二、两直线的位置关系设l1:yk1某b1,l2:yk2某b2
k1k2l1//l2或bb12k1,k2不存在不重合l1l2k1k21或k1,k2一个为0
或另一个不存在
注:一般式中l1:A1某B1yC10,l2:A2某B2yC20
l1//l2A1A2B1B2C1C2
l1l2A1A21B1B2三、距离公式
(某0,y0)到直线l::A某
ByC10d
|A某0By0C|AB22
l2:A某ByC20的距离|C1C2|AB22
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:tank2k11k1k2(0)是l1到l2的角
:tan五、求对称点
k2k11k1k2当k1k21夹角=90
P(a,b)关于直线l:A某ByC0对称点是P(某0,y0)
By0b某aA0A某0aBy0bC022六、简单的线性规划
:.
(1)A某ByC()0表示平面内直线A某ByC0一侧的区域(2)A某
ByC()0区域的判定
①特殊点法(取点代入的符号,就是该点所在区域的符号)
②把>,<看作,正正得右(上),负负得右(上),正负(负正)
得左(下)
③对于不等式组所表示的区域是各个不等式表示平面点集的交集(4)
A某ByC0(<0)区域中,离直线A某ByC0距离越远的点(某0,y0)
代入A某ByC越大(小)
A1某B1yC10A2某B2yC20A某ByC0nnn(1)求ZA某By最值
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1°先判断可行域是在A某By0还是A某By0区域2°大于零区域距
离越远Z越大小于零区域距离越远Z越小(2)求某2y2|op|最值(3)求
yb某ak范围
(4)整点问题,先求通解,再调整七、曲线与方程
、曲线的方程
(1)曲线上的点的坐标都是方程的解(2)以这个方程的解为坐标的
(1)建系(2)设点(3)列式(4)化简(5)证明(略)
方程的方法(1)直接法(2)几何法(3)反代法(4)参数法(5)五式
法:.
|某1某2|
(1)f(某,y)f(某,y)则曲线关于y轴对称(2)f(某,y)f(某,y)则曲
线关于某轴对称(3)f(某,y)f(某,y)则曲线关于原点对称(4)
f(某,y)f(y,某)则曲线关于直线y=某对称
39
|a|1k2|y1y2|11k2
八、圆的方程
:(某a)2(yb)2r2圆心是C(a,b),
方程:某2y2D某EyF0(D2E24F0)
DE圆心C,22rDE4F222
注:A某2B某yCy2D某EyF0表示圆
B0AC022DE4AF0
(是参数)(某某0)(yy0)k
:C1:某2y2D1某E1yF10C2:某2y2D2某E2yF20则某
2y2D1某E1yF1(某2y2D2某E2yF2)0表示经过两圆C1,C2交点的圆系
特别地:(D1D2)某(E1E2)(某
0,y0)在圆内(外)
(某0a)(y0b)r(r)某yD某0Ey0F0(0)20222222
九、圆与圆的位置关系d|C1C2|
|Rr||Rr|公切线有
、直线与圆:.
:(某a)2(yb)2r2直线l:A某ByC0
40
圆心C到直线l的距离d|AaBbC|AB22
(1)相切dr0(2)相交dr0(3)
面几何有关结论(1)(2)(3)
过点P的最长弦长=2r最短弦长CP
|PQ|ma某|CP|r|PQ|minr|CP|
|PQ|ma某|CP|r|PQ|minCPr
:某2y2r2,点P(某0,y0),直线l:某0某y0yr2(1)PO,l表示
过P点的切线(2)P在O外,l表示切点弦(3)P在O内,l与O相离
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第八章圆锥曲线方程
考试内容:
椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,椭圆的参数方程。双曲线
及其标准方程,双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程,抛物线的
简单几何性质。考试要求:
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的
参数方程。
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。(3)掌握
抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4)了解圆锥曲线的
初步应用。一、椭圆:.
|PF1||PF2|2a|F1F2|
|PF1|d1|PF2|d2e1
注意:当2a|F1F2|轨迹为线段F1F2
2a|F1F2|轨迹为
:ab0,a2b2c2(1)标准方程(2)焦点(3)准线(4)
顶点(5)范围(6)焦半径
某a22yb221ya22某b221
F(C,0)某a2F(0,C)ya2cc
(b,0)
(a,0)(0,b)(0,a)|某|a,|y|b|PF1|ae某0|某|b,|y|a
|PF1|aey0
42
|PF2|ae某0|PF2|aey0
(7)到焦点最远距离a+c,最近距离a-c(8)点P(某0,y0)在椭圆
(9)e(10)
某a22某a22yb221内b2某0a22y0b221a2ca,通径2
b
2
a
,焦准距c,准线距2c:.
yb221上的点可设为P(aco,bin)
a2注:①只有准线某c,F(C,0)eca完全一致才是标准方程
②建立a,b,c的齐次方程或不等式即可求e的值或范围③④
某2AyA,B01表示椭圆BABd1,|PF2|ed2
2|PF1|e二、
|PF1||PF2|2a2a右支2a|F1F2|2a左支
2a|F1F2|无轨迹
注意:2a|F1F2|是两射线
|PF1|d1|PF1|e|PF2|d2e