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二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结
一、二次函数观点:
:一般地,形如(是常数,)的函
数,叫做二次函数。
这里需要重申:①a≠0②最高次数为2③代数式必定是整式
二次函数的构造特色:
⑴等号左边是函数,右边是对于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑴是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
例题:
例1、已知函数y=(m-1)xm2+1+5x-3是二次函数,求m的值。
练****若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是对于x的二次函数,则m的取值范围
为。
二、二次函数的基本形式
二次函数基本形式:的性质:
的绝对值越大,抛物线的张口越小。
张口方极点坐
a的符号
向标
a0向上0,0
a0向下0,0
的性质:上加下减。
张口方极点坐
a的符号
向标
a0向上0,c
a0向下0,c
对称
性质
轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
y轴
0
时,y有最小
y随x的增大而减小;x
值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
y轴
0
时,y有最大
y随x的增大而增大;x
值0.
对称
性质
轴
x
0时,y随x的增大而增大;x
0时,
y轴
0时,y有最小
y随x的增大而减小;x
值c.
x
0时,y随x的增大而减小;x
0时,
y轴
0时,y有最大
y随x的增大而增大;x
值c.
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的性质:
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左加右减。
a的符号
张口方
极点坐
对称
性质
向
标
轴
xh时,y随x的增大而增大;x
h时,
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a0
a0
的性质:
向上
向下
,0
,0
X=h
y随x的增大而减小;xh时,y有最小
值0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
X=h
y随x的增大而增大;xh时,y有最大
值0.
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二次函数知识点总结和题型总结
张口方
极点坐
对称
性质
a的符号
向
标
轴
x
h时,y随x的增大而增大;xh时,
a
0
向上
h,k
X=h
h时,y有最小
y随x的增大而减小;x
值k.
x
h时,y随x的增大而减小;xh时,
a
0
向下
h,k
X=h
h时,y有最大
y随x的增大而增大;x
值k.
二次函数的对称轴、极点、最值
(技法:假如分析式为极点式
y=a(x-h)2+k,则最值为k;假如分析式为一般式
y=ax2+bx+c
则最值为)
=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为
。
=x2+bx+c线的极点坐标为(1,3),则b=
,c=.
=x2+3x的极点在(
)
=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线极点到坐标原点的距离为
(
)
A.
B.
C.
D.
=ax+b不经过二、四象限,则抛物线
y=ax2+bx+c()
,对称轴是
y轴
,对称轴是
y轴
,对称轴平行于
y轴
,对称轴平行于
y轴
=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为
0,则m=
。
三、二次函数图象的平移
平移步骤:
方法一:⑴将抛物线分析式转变为极点式,确立其极点坐标;
⑴保持抛物线的形状不变,将其极点平移各处,详细平移方法以下:
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平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
归纳成八个字“左加右减,上加下减”.
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方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变为
(或)
⑴沿轴平移:向左(右)平移个单位,变为(或)
函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题:
=x2+4x+9的对称轴是。
=2x2-12x+25的张口方向是,极点坐标是
,写出以下函数的张口方向、对称轴和极点坐标:
(1)y=x2-2x+1;(2)y=-3x2+8x-2;(3)y=-x2+x-4
。
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4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移图象的分析式是y=x2-3x+5,试求
3个单位,在向下平移b、c的值。
2个单位,所得
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5、把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移
问所得的抛物线有没有最大值,如有,求出该最大值;若没有,说明原因。
3个单位,
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四、二次函数与的比较
从分析式上看,与是两种不一样的表达形式,后者经过配方能够获取前者,即,此中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为极点式,确立其张口方向、对称轴
及极点坐标,而后在对称轴双侧,
点为:极点、与轴的交点、以及对于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组对于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:张口方向,对称轴,极点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
当时,抛物线张口向上,对称轴为,极点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
当时,抛物线张口向下,对称轴为,,随的增大而增大;当时,随
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的增大而减小;当时,有最大值.
例题:函数y=a(x-h)2的图象与性质
:
抛物线
张口方向
对称轴
极点坐标
y
3x
22
1
x
2
y
3
2
=(x-3)2的图象特色及性质(张口、对称轴、极点坐标、增减性、最值)。
=a(x-h)2的图象如图:已知a=,OA=OC,试求该抛物线的解
析式。
二次函数的增减性
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y=3x2-6x+5,当
x>1时,y随
x的增大而
;当
x<1时,y
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随x的增大而
;当
x=1时,函数有最
值是
。
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y=4x2-mx+5,当
x>
-2时,y随
x的增大而增大;当
x<
-2时,y
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随x的增大而减少;则
x=1时,y的值为
。
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y=x2-(m+1)x+1,当
x≥1时,y
随x的增大而增大,则m
的取值范围是
.
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y=-x2+3x+的图象上有三点
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且
3<x1<x2<x3,则
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y1,y2,y3
的大小关系为
.
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七、二次函数分析式的表示方法
一般式:(,,为常数,);
极点式:(,,为常数,);
两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式,但并不是所有的二次函数都能够写
成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,
次函数分析式的这三种形式能够互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数
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二次函数中,作为二次项系数,明显.
⑴当时,抛物线张口向上,的值越大,张口越小,反之的值越小,张口越大;
⑴当时,抛物线张口向下,的值越小,张口越小,反之的值越大,张口越大.
总结起来,决定了抛物线张口的大小和方向,的正负决定张口方向,的大小决定张口的大小.
一次项系数
在二次项系数确立的前提下,决定了抛物线的对称轴.
在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左边;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的右边.
在的前提下,结论恰好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右边;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左边.
总结起来,在确立的前提下,决定了抛物线对称轴的地点.
的符号的判断:对称轴在轴左边则,在轴的右边则,归纳的说就是“左同右异”总结:
常数项
当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
当时,抛物线与轴的交点在轴下方,,决定了抛物线与轴交点的地点.
总之,只需都确立,那么这条抛物线就是独一确立的.
例题:函数的图象特色与a、b、c的关系
=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为()
>0,b>0,c>>0,b>0,c=0
>0,b<0,c=>0,b<0,c<0
=ax2+bx+c的图象2以下图,则以下结论正确的选项是()
+b+c>>-2a
-b+c><0
=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下结论:
①c>0;②a+b+c>0③a-b+c>0④b2-4ac<0⑤abc<0;此中正确的为()
A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤
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<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()
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=ax2+bx+c,假如a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()
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y=ax2+bx+c的图象如图
5所示,那么
abc,b2-4ac,
2a+b,
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a+b+c
四个代数式中,值为正数的有
(
)
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,函数
y=ax2+c与
y=(a<c)图象可能是图所示的
(
)
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A
B
C
D
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y=
的图象在一、三象限,则二次函数
y=kx2-k2x-1c
的图象大概为图中的(
)
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A
B
C
D
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(
y=
中,当
)
x>0
时,y随
x的增大而增大,则二次函数
y=kx2+2kx的图象大概
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ABCD
二次函数分析式确实定:
依据已知条件确立二次函数分析式,
分析式一定依据题目的特色,选择适合的形式,,有以下几种状况:
已知抛物线上三点的坐标,一般采纳一般式;
已知抛物线极点或对称轴或最大(小)值,一般采纳极点式;
已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般采纳两根式;
已知抛物线上纵坐标同样的两点,:函数分析式的求法
一、已知抛物线上随意三点时,往常设分析式为一般式y=ax2+bx+c,而后解三元方程组求解;
(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的分析式。
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(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二
次函数的分析式。
二、已知抛物线的极点坐标,或抛物线上纵坐标同样的两点和抛物线上另一点时,往常设分析式为极点式y=a(x-h)2+k求解。
(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的分析式。
(1,-3),且经过点P(2,0)点,求二
次函数的分析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,往常设分析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次
函数的分析式。
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种状况,能够用一般式或极点式表达
对于轴对称
对于轴对称后,获取的分析式是;
对于轴对称后,获取的分析式是;
对于轴对称
对于轴对称后,获取的分析式是;
对于轴对称后,获取的分析式是;
对于原点对称
对于原点对称后,获取的分析式是;对于原点对称后,获取的分析式是;
对于极点对称(即:抛物线绕极点旋转180°)
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对于极点对称后,获取的分析式是;
对于极点对称后,获取的分析式是.
对于点对称
对于点对称后,获取的分析式是
依据对称的性质,明显不论作何种对称变换,抛物线的形状必定不会发生变化,,能够依照题意或方便运算的原则,选择适合的形式****惯上是先确立原抛物线(或表达式已知的抛物线)的极点坐标及张口方向,再确立
其对称抛物线的极点坐标及张口方向,而后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点状况):一元二次方程是二次函数当函数值时的特别状况.
图象与轴的交点个数:
当时,图象与轴交于两点,.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,不论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,不论为任何实数,都有.
抛物线的图象与轴必定订交,交点坐标为,;
二次函数常用解题方法总结:
求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转变为一元二次方程;
求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式;
依据图象的地点判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的地点,要数形联合;
二次函数的图象对于对称轴对称,可利用这一性质,乞降已知一点对称的点坐标,或已
知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑴与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式自己就是所含字母的二次函数;下边以时为例,揭露二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
抛物线与x轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实
有两个交点正、可零、可负根
抛物线与x轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实
只有一个交点非负数根
抛物线与x轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根.
无交点为正
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例题:二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
=x2+4x+c图象与x轴没有交点,此中c为整数,则
一个即可)
c=
(写
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二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是()
以下图,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则⑴ABC的面积为()
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5.
6.
已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于为,则m的值为()
A.-
已知抛物线y=x2-2x-8,
1)求证:该抛物线与x轴必定有两个交点;
2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的极点为P,求⑴ABP的面积。
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十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是重点;张口、极点和交点,它
们确立图象现;张口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a有关系;极点地点先找见,Y轴作为参照线,左同右异中为0,切记心中莫杂乱;极点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴地点,符号反,一般、极点、交点式,不一样表达能交换。
二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负张口判,c的大小y轴看,⑴的符号最简易,
x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,极点牵着图象转,三种形式可变换,配
方法作用最重点。
例题:二次函数应用
(一)经济策略性
,销售一段时间后,为了获取更多的收益,商铺决
定提升销售价钱。经查验发现,若按每件20元的价钱销售时,每个月能卖360件若按每件25
元的价钱销售时,每个月能卖210件。假定每个月销售件数y(件)是价钱X的一次函数.
试求y与x的之间的关系式.
在商品不积压,且不考虑其余要素的条件下,问销售价钱定为多少时,才能使每个月获
得最大收益,每个月的最大收益是多少?(总收益=总收入-总成本)
,从海上捕捉后不放养最多只好活两天,
假如放养在塘内,能够延伸存活时间,
但每日也有必定数目的蟹逝世,
假定放养期内蟹的个体重量基本保持不变,
现有一经销商,
按市场价收买了这类活蟹1000
千克放养在塘内,此时市场价为每千克
30元,据测算,以
后每千克活蟹的市场价每日可上涨
1元,可是放养一天需各样花费支出
400元,且均匀每
天还有10千克蟹逝世,假定死蟹均于当日所有售出,售价都是每千克
20元。
(1)设X天后每千克活蟹的市场价为
P元,写出P对于X的函数关系式。
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(2)假如放养X天后将活蟹一次性销售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q对于X的函数关系式。
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(2)该经销商将这批蟹放养多少天后销售,
可获最大收益(收益
=销售总数—收买成本—费
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用),最大收益是多少?
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。为确立一个最正确的销售价钱,在试销期采纳多种价钱进性销售,经试验发现:按每双30元的价钱销售时,每日能卖出60双;按每双32元的价钱销售时,每日能卖出52双,假定每日售出鞋的数目Y(双)是销售单位X的一次函数。
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(1)求Y与X之间的函数关系式;
(2)在鞋不积压,且不考虑其余要素的状况下,求出每日的销售收益W(元)与销售单价X之间的函数关系式;
(3)销售价钱定为多少元时,每日获取的销售收益最多?是多少?
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