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时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。
图例:受噪声干扰的多频率成分信号
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时间
幅值
频率
时域分析
频域分析
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小,能够提供比时域信号波形更直观,丰富的信息。
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一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
傅立叶变换F(u)的反变换:
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一维DFT及其反变换
离散函数f(x)(其中x,u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:
F(u)的反变换的反变换:
计算F(u):
在指数项中代入
u=0,然后将所有x值相加,得到F(0);
2)u=1,复对所有x的相加,得到F(1);
3)对所有M个u重复此过程,得到全部完整的FT。
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离散傅里叶变换及其反变换总存在。
用欧拉公式得
每个F(u)由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成;
u值决定了变换的频率成份,因此,F(u)覆盖的域
(u值)称为频率域,其中每一项都被称为FT的频率
分量。与f(x)的“时间域”和“时间成份”相对应。
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傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色,称数学棱镜。
傅里叶变换的成份:直流分量和交流分量
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表图像的高频分量;背景区域和慢变部分代表图像的低频分量
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二维DFT傅里叶变换
一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):
F(u,v)的反变换:
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二维DFT傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
即f(x,y)的均值,原点(0,0)的傅里叶变换是图像的
平均灰度。F(0,0)称为频率谱的直流分量(系数),
其它F(u,v)值称为交流分量(交流系数)。
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