2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇+专题六+第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质.pdf

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第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性
质
(对应学生用书第42页)
1.(2018·全国Ⅱ卷,理5)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(A)
(A)y=±x(B)y=±x
(C)y=±x(D)y=±x
解析:由e===,得=,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.
2.(2018·全国Ⅲ卷,理6)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP
面积的取值范围是(A)
(A)[2,6](B)[4,8]
(C)[,3](D)[2,3]
解析:设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以
圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得d=2+r=3,d=2-r=.由已知条件可得AB=2,
maxmin
所以△ABP面积的最大值为AB·d=6,△ABP面积的最小值为AB·d=2.
maxmin
综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
3.(2017·全国Ⅲ卷,理5)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆
+=1有公共焦点,则C的方程为(B):.
(A)-=1(B)-=1
(C)-=1(D)-=1
解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,
椭圆+=1的焦点为(3,0),
所以c=3.
在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.
故选B.
4.(2017·全国Ⅱ卷,理9)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,
则C的离心率为(A)
(A)2(B)(C)(D)
解析:双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,
圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2.
依题意可得2=2,
即=1,
所以d=.
又d==,
所以4b2=3c2,
所以4(c2-a2)=3c2,:.
所以=4,
即e2==.
5.(2017·全国Ⅲ卷,理10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,A,且以线段AA为直径
1212
的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(A)
(A)(B)(C)(D)
解析:以AA为直径的圆的方程为x2+y2=a2,
12
因为直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
所以=a得a2=3b2,
由a2=b2+c2得e=,
故选A.
6.(2018·全国Ⅱ卷,理12)已知F,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过
12
A且斜率为的直线上,△PFF为等腰三角形,∠FFP=120°,则C的离心率为(D)
1212
(A)(B)(C)(D)
解析:
由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,
设|FF|=2c,
12:.
因为△PFF为等腰三角形,且∠FFP=120°,
1212
所以|PF|=|FF|=2c,
212
因为|OF|=c,
2
所以点P坐标为(c+2ccos60°,2csin60°),
即点P(2c,c),
因为点P在过点A,且斜率为的直线上,
所以=,
解得=,
所以e=,故选D.
7.(2017·全国Ⅰ卷,理15)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,∠MAN=60°,则C的离心率为.
解析:双曲线方程为-=1,
双曲线的渐近线bx-ay=0与圆相交,
则A(a,0)到直线bx-ay=0的距离为=,
又∠MAN=60°,故d=b.
所以=b,故e==.
答案:
:.

(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.
(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.

选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.
(对应学生用书第42~43页)
直线与圆
考向1圆的方程
【例1】一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.
解析:由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半
轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)(x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),
则解得
所以圆的标准方程为x-2+y2=.
答案:x-2+y2=
考向2直线与圆的位置关系
【例2】(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.
解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
所以圆心C(0,-1),半径r=2.
圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,
所以|AB|=2=2=:.
答案:2
(1)求圆的方程一般有两类方法:①几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得
圆的基本量;②代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,
件与圆心、半径有关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆的一般方
程求解.
(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,
并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成
一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.
热点训练1:(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.
解析:法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),
所以
解得
所以圆的方程为x2+y2-2x=0.
法二画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆
的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
答案:x2+y2-2x=0
热点训练2:(2016·全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C
的面积为.
解析:因为x2+y2-2ay-2=0,:.
所以x2+(y-a)2=2+a2,
点(0,a)到直线y=x+2a的距离d==.
2+a2-=3,
所以a2=2,所以r2=2+a2=4,
圆面积S=πr2=4π.
答案:4π
圆锥曲线的定义与标准方程
考向1圆锥曲线的定义及应用
【例3】点P是双曲线-=1的右支上一点,点M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,
则|PM|-|PN|的最小值为()
(A)3(B)4(C)5(D)6
解析:a=4,b=3,c=5,所以双曲线两个焦点分别是F(-5,0)与F(5,0),恰好为圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的
12
圆心,半径分别为r=2,r=1,
12
因为|PF|-|PF|=2a=8,
12
所以|PM|=|PF|-r=|PF|-2,
min111
|PN|=|PF|+r=|PF|+1,
max222
所以(|PM|-|PN|)=(|PF|-2)-(|PF|+1)=8-3=.
min12
考向2圆锥曲线的方程
【例4】(2018·衡阳三模)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,A为椭圆上一动点(异于左、
12
右顶点),若△AFF的周长为6且面积的最大值为,则椭圆的标准方程为()
12
(A)+=1(B)+=1
(C)+y2=1(D)+y2=1
解析:由椭圆的定义可得2(a+c)=6,:.
所以a+c=3,①
当A在上(或下)顶点时,△AFF的面积取得最大值,
12
即最大值为bc=,②
由①②及a2=c2+b2联立求得a=2,b=,c=1,
可得椭圆方程为+=.
(1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解.
(2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”
①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.②计算,即利用待定系数法
求出方程中的a2,,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设
mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).
热点训练3:
如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F,F,点P在椭圆上,若|PF|=4,∠FPF=120°,则a的值为()
12112
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析:因为b2=2,c=,
所以|FF|=2.
12
又|PF|=4,|PF|+|PF|=2a,|PF|=2a-4,
1122
由余弦定理得
cos120°==-,
解得a=3.
:.
热点训练4:(2018·黑龙江模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦
点坐标为(2,0),则双曲线的方程为()
(A)-=1(B)-=1
(C)x2-=1(D)-y2=1
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,
可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,
解得a=1,b=,
所求双曲线方程为x2-=.
圆锥曲线的几何性质
【例5】(2018·安阳一模)已知F,F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且
12
·(+)=0(O为坐标原点),若||=||,则椭圆的离心率为()
(A)-(B)
(C)-(D)
解析:
如图,取PF的中点A,连接OA,
1:.
所以2=+,=,
所以+=,
因为·(+)=0,
所以·=0,
所以⊥,
因为||=||,
不妨设|PF|=m,则|PF|=m,
21
因为|PF|+|PF|=2a=m+m,
21
所以m=a=2(-1)a,
因为|FF|=2c,
12
所以4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2(3-2),
所以=9-6=(-)2,
所以e=-.故选A.
热点训练5:(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F,F为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF⊥
121
PF,tan∠PFF=2,则椭圆的离心率e等于()
221
(A)(B)(C)(D)
解析:法一因为点P是以F,F为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF⊥PF,tan∠PFF=2,
121221
所以=2,
设|PF|=x,则|PF|=2x,
21:.
由椭圆定义知x+2x=2a,
所以x=,
所以|PF|=,则|PF|=,
21
由勾股定理知|PF|2+|PF|2=|FF|2,
2112
解得c=a,
所以e==,选A.
法二由PF⊥PF,tan∠PFF=2.
1221
不妨设|PF|=2,|PF|=1,则|FF|=.
1212
所以2a=|PF|+|PF|=3,2c=.
12
所以e==.故选A.
热点训练6:椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,若以线段FF为直径的圆与椭圆有交点,
1212
则椭圆C的离心率的取值范围是.
解析:由题意可知,以FF为直径的圆的方程为
12
x2+y2=c2,将其代入椭圆方程,
消去y得(a2-b2)x2+a2b2-a2c2=0.
因为圆与椭圆有交点,
所以Δ=0-4(a2-b2)·(a2b2-a2c2)≥0,
所以a2c2(a2-2c2)≤0,所以a2≤2c2,即e=≥,
又椭圆的离心率e<1,所以≤e<:.
答案:,1
【例1】(2018·江西赣州红色七校联考)已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线
x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),a-b+=0,①
⇒b=(a+1),
圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为d=1+=+1⇒|a+b|=2,②
由①②得|2a+1|=2,a<0,
故得a=-,a2+b2=a2+3(a+1)2=3.
【例2】(2018·河南中原名校质检二)直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB
的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是()
(A)(B)(C)(D)
解析:设A(x,y),B(x,y),
1122
则
①-②整理得,=-·,
又k=-,
AB:.
AB中点为M(1,1),所以-=-,
所以=,
所以e==.故选A.
【例3】(2018·齐齐哈尔二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F,F
12
分别是椭圆的左、右焦点,且△FAB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取
1
值范围为()
(A)[1,2](B)[,]
(C)[,4](D)[1,4]
解析:由2b=2可得b=1,即A(0,1),
又F(-c,0),B(-a,0),
1
所以=×(a-c)×1=,
又a2-c2=1,所以a=2,c=,
所以|PF|+|PF|=2a=4,
12
所以+=
=,
由题意得2-≤|PF|≤2+,
1
|PF|(4-|PF|)=-(|PF|-2)2+4,
111
所以1≤|PF|(4-|PF|)≤4,
11
所以1≤≤:.
故选D.