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2019年北京卷理科数学高考真题.pdf

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2019年高考真题
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试
结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知复数z=2+i,则zz
(A)3(B)5(C)3(D)5
(2)执行如图所示的程序框图,输出的s值为
(A)1(B)2(C)3(D)4
x13t,
(3)已知直线l的参数方程为(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是
y24t
1246
(A)(B)(C)(D)
5555
x2y21
(4)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为,则
a2b22
(A)a2=2b2(B)3a2=4b2(C)a=2b(D)3a=4b
(5)若x,y满足|x|1y,且y≥1,则3x+y的最大值为:.
(A)−7(B)1(C)5(D)7
5E
(6)在天文学中,−m=lg1,
21E
2
2
其中星等为m的星的亮度为E(k=1,2).已知太阳的星等是−,天狼星的星等是−,则太阳与
kk
天狼星的亮度的比值为
(A)(B)(C)(D)10−
uuuruuuruuuruuuruuur
(7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABAC||BC|”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2y21|x|y就是其中之一(如图).给出
下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
(A)①(B)②(C)①②(D)①②③
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________.
(10)设等差数列{a}的前n项和为S,若a=−3,S=−10,则a=__________,S的最小值为__________.
nn255n
(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,
为1,:.
(12)已知l,m是平面:
①l⊥m;②m∥;③l⊥.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.
(13)设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,
则a的取值范围是___________.
(14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60
元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价
达到120元,,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为
__________.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
1
在△ABC中,a=3,b−c=2,cosB=.
2
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)求sin(B–C)的值.
(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=
PF1
的中点,点F在PC上,且.
PC3:.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;
PG2
(Ⅲ)设点G在PB上,,说明理由.
PB3
(17)(本小题13分)
改革开放以来,,
解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中
A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额(元)(0,1000](1000,2000]大于2000
支付方式
仅使用A18人9人3人
仅使用B10人14人1人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于
1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ),随机抽查3人,
,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金
额大于2000元的人数有变化?说明理由.
(18)(本小题14分)
已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分
别交直线OM,:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(19)(本小题13分):.
1
已知函数f(x)x3x2x.
4
(Ⅰ)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当x[2,4]时,求证:x6f(x)x;
(Ⅲ)设F(x)|f(x)(xa)|(aR),记F(x)在区间[2,4]上的最大值为M(a).当M(a)
最小时,求a的值.
(20)(本小题13分)
已知数列{a},从中选取第i项、第i项、…、第i项(i<i<…<i),若aaa,则称新
n12m12miii
12m
数列a,a,,a为{a}:数列{a}的任意一项都是{a}的长度为1
iiinnn
12m
的递增子列.
(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;
(Ⅱ)已知数列{a}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a,长度为q的递增子列的末项的最小
nm
0
<q,求证:a<a;
n0m0n0
(Ⅲ)设无穷数列{a}的各项均为正整数,{a}的长度为s的递增子列末项的
nn
最小值为2s–1,且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a}的通项公式.
n
:.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)D(2)B(3)D(4)B(5)C(6)A(7)C(8)C
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
π
(9)(10)010(11)40(12)若lm,l,则m∥.(答案不唯一)
2
(13)1(,0](14)13015
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)由余弦定理b2a2c22accosB,得
1
b232c223c.

2
因为bc2,
1
所以(c2)232c223c.

2
解得c5.
所以b7.
13
(Ⅱ)由cosB得sinB.
22
c53
由正弦定理得sinCsinB.
b14
在△ABC中,∠B是钝角,
所以∠C为锐角.
11
所以cosC1sin2C.
14:.
43
所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC.
7
(16)(共14分)
解:(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)过A作AD的垂线交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.
如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2).
因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).
uuuruuuruuur
所以AE(0,1,1),PC(2,2,2),AP(0,0,2).
uuur1uuur222uuuruuuruuur224

所以PFPC,,,AFAPPF,,.
3333333
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则
uuuryz0,

nAE0,
uuur即224
nAF0,xyz0.

333
令z=1,则y1,x1.
于是n=(1,1,1).
np3
又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以cosn,p.
|n‖p|3
3
由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为.
3:.
(Ⅲ)直线AG在平面AEF内.
PG2uuur
因为点G在PB上,且,PB(2,1,2),
PB3
uuur2uuur424uuuruuuruuur422

所以PGPB,,,AGAPPG,,.
3333333
由(Ⅱ)知,平面AEF的法向量n=(1,1,1).
uuur422
所以AGn0.
333
所以直线AG在平面AEF内.
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B
两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.
40
所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为.
100
(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从
样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.
93141
由题设知,事件C,D相互独立,且P(C),P(D).
3025
所以P(X2)P(CD)P(C)P(D),:.
P(X1)P(CDUCD)
P(C)P(D)P(C)P(D)
=×(1−)+(1−)×
=,
P(X0)P(CD)P(C)P(D).
所以X的分布列为
X012

故X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.
(Ⅲ)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得
11
P(E).
C34060
30
答案示例1::
P(E)比较小,,就有理由认为本月的支付金额大于2000
.
答案示例2::
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)由抛物线C:x22py经过点(2,1),得p2.
所以抛物线C的方程为x24y,其准线方程为y1.
(Ⅱ)抛物线C的焦点为F(0,1).
设直线l的方程为ykx1(k0).
ykx1,
由得x24kx40.
x24y

设Mx,y,Nx,y,则xx4.
112212:.
y
直线OM的方程为y1x.
x
1
x
令y1,得点A的横坐标x1.
Ay
1
x
同理得点B的横坐标x2.
By
2
uuurxuuurx
设点D(0,n),则DA1,1n,DB2,1n,
yy
12
uuuruuurxx
DADB12(n1)2
yy
12
xx
12(n1)2
x2x2
12
44
16
(n1)2
xx
12
4(n1)2.
uuuruuur
令DADB0,即4(n1)20,则n1或n3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3).
(19)(共13分)
13
解:(Ⅰ)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.
44
38
令f(x)1,即x22x11,得x0或x.
43
88
又f(0)0,f(),
327
88
所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx,
273
64
即yx与yx.
27:.
(Ⅱ)令g(x)f(x)x,x[2,4].
13
由g(x)x3x2得g'(x)x22x.
44
8
令g'(x)0得x0或x.
3
g'(x),g(x)的情况如下:
888
x2(2,0)0(0,)(,4)4
333
g'(x)
64
g(x)6Z0]Z0
27
所以g(x)的最小值为6,最大值为0.
故6g(x)0,即x6f(x)x.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
当a3时,M(a)F(0)|g(0)a|a3;
当a3时,M(a)F(2)|g(2)a|6a3;
当a3时,M(a)3.
综上,当M(a)最小时,a3.
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)1,3,5,6.(答案不唯一)
(Ⅱ)设长度为q末项为a的一个递增子列为a,a,L,a,a.
n0rrrn
12q10
由p<q,得aaa.
rrn
pq10
因为a的长度为p的递增子列末项的最小值为a,
nm0
又a,a,L,a是a的长度为p的递增子列,
r1r2rpn
所以aa.
m0rp:.
所以aa·
m0n0
(Ⅲ)由题设知,所有正奇数都是a中的项.
n
先证明:若2m是a中的项,则2m必排在2m−1之前(m为正整数).
n
假设2m排在2m−1之后.
设a,a,L,a,2m1是数列a的长度为m末项为2m−1的递增子列,则
p1p2pm1n
a,a,L,a,2m1,2m是数列a的长度为m+.
pppn
12m1
再证明:所有正偶数都是a中的项.
n
假设存在正偶数不是a中的项,设不在a中的最小的正偶数为2m.
nn
因为2k排在2k−1之前(k=1,2,…,m−1),所以2k和2k1不可能在a的同一个递增子列中.
n
又a中不超过2m+1的数为1,2,…,2m−2,2m−1,2m+1,所以a的长度为m+1且末项为2m+1
nn
的递增子列个数至多为222L2112m12m.
1442443
(m1)个
与已知矛盾.
最后证明:2m排在2m−3之后(m≥2为整数).
假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m−3之前,则a的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小
n
.
综上,数列a只可能为2,1,4,3,…,2m−3,2m,2m−1,….
n
经验证,数列2,1,4,3,…,2m−3,2m,2m−1,…符合条件.
n1,n为奇数,
所以a
nn1,n为偶数.