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2021届江苏省百校联考高三下学期数学4月第三次考试试卷及答案.pdf

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2021届江苏省百校联考高三下学期数学4月第三次考试试卷及答案.pdf

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高三下学期数学4月第三次考试试卷
一、单项选择题
1.“虚数〞这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,
现,,那么〔〕

,,假设,那么
〔〕
.
3.?数术记遗?是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著,内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于
大数的记法:“黄帝为法,,,亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、
者,谓上、中、下也,其下数者,十十变之,假设言十万曰亿,十亿曰兆,,万万变
之,假设言万万曰亿,万万亿曰兆,,数穷那么变,假设言万万曰亿,亿亿曰兆,兆
,,计事那么不尽,上数宏阔,,唯以中数
耳.〞我们现在用的是中数之法:万万为亿,万亿为兆,万兆为京,……,即万,亿,
兆,京,……,,〔〕

、25、41,以下各数一定是该数列的项的是〔〕

5.,是不共面向量,设,,,,假设
的面积为3,那么的面积为〔〕

,,满足,,,那么实数,,之间的大小
关系为〔〕
.
,且,假设四面体
的体积是,那么这个球面的面积是〔〕
.
,,假设函数有两个零点,那么的取值范围是
〔〕
.
二、多项选择题
,圆过点,、、且,那么〔〕:.
.
、在同一象限内
,设曲线的方程是,以下结论正确的选项是〔〕

:的距离的比是
,所得曲线方程是

,那么以下结论正确的选项是〔〕
.
.
〔〕
,四个面都是直角三角形
,
、、、,使
、、、,使
三、填空题
,假设,,
那么的最小值是________.
,集合B中有5个等比数列,的元素个数是1,在中任取两个
数列,这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是________.
,,,各项互不相同,①
;②;③;④中恰有一个正确,那么的最大值是
________.
:和:在它们的一个交点处的切线互相垂直,那
么过定点________.
四、解答题
17.
〔1〕写出一个等差数列的通项公式,使满足①,②是等差数列,其中是
的前项和.(写出一个就可以,不必证明)
〔2〕对于〔1〕中的,设,求数列的前项和.
,在平面四边形中,,.:.
〔1〕当A、B、C、D共圆时,求的值;
〔2〕假设,求的值.
,每杯本钱4元,,
记录了60天这款新品奶茶的日需求量,整理得下表:
日需求量杯数20253035404550
天数55101510105
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
〔1〕从这60天中任取2天,求这2天的日需求量至少有一天为35的概率;
〔2〕①假设奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶,用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位:元),
求的分布列和数学期望;
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数,有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶
茶,你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由.
,矩形所在平面与所在平面垂直,,.
〔1〕证明:平面;
〔2〕假设平面与平面所成锐二面角的余弦值是,且直线与平面所成角的正
弦值是,求异面直线与所成角的余弦值.
,椭圆:的离心率是,焦点到相应准线的距
离是3.
〔1〕求,的值;:.
〔2〕、是椭圆上关于原点对称的两点,在轴的上方,,连接、并分别延长
交椭圆于、两点,证明:直线过定点.
.
〔1〕证明:;
〔2〕假设,:.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解:因为,
所以,
故,
所以.
故答案为:B.
【分析】利用复数模的运算性质求解即可.
2.【解析】【解答】因为集合,
,
且,
所以3是方程的根,即,解得,
所以集合,
所以,
故答案为:B
【分析】求出集合B和,由3是方程的根,得到t的值,然后求出集合A,得到

3.【解析】【解答】由题意相邻记数单位后面的比前面的多4位.
1兆=,13位数,因此1京是17位、1垓是21位、1秭是25位,.
故答案为:C.
【分析】由材料中得到1兆=,据此计算.
4.【解析】【解答】设该等差数列为,其公差为,设13、25、41分别为该数列中的,且
不妨设.
那么,,
所以,
将两式相除可得,设,,那么
将分别代入,,可得
那么,其中:.
所以,不管取何正整数,要使一定为该数列中的某一项,由为正整数,那么
当不管取何正整数时,为整数.
A.,即
不满足不管取何正整数时,为整数,显然不一定是该数列中的项.
B.,即
不满足不管取何正整数时,为整数,显然不一定是该数列中的项.
C.,即
满足不管取何正整数时,为整数,显然一定是该数列中的项.
D.,即
不满足不管取何正整数时,为整数,显然不一定是该数列中的项.
故答案为:C
【分析】设该等差数列为,其公差为,设13、25、41分别为该数列中的,且
不妨设,根据等差数列的通项公式和求和公式,逐项进行判定,即可得出答
案。
5.【解析】【解答】∵,,,,
∴,,
∴,
∴且,
取中点,中点,如下列图,
过作,垂足为,交于,那么,
那么,,:.
∴,∴,,三点共线,且,
∴,,
∴,
∴的面积为8。
故答案为:D.
【分析】因为,,,,再利用三角形法那么
结合向量共线定理,所以且,取中点,中点,过作
,垂足为,交于,那么,再利用平面向量根本定理结合向量共线定
理,所以,,三点共线且,再利用两三角形相似,所以,再
利用三角形相似对应边成比例,所以,再利用三角形面积公式,从而求出三角形
的面积。
6.【解析】【解答】由,得,因为
所以,可得
设函数在是增函数,且
所以由,即,所以
函数在是增函数,且
由,即,所以
所以
故答案为:A
【分析】由,得,由为增函数,得,由
为增函数,得。
7.【解析】【解答】如以下列图所示,取的中点,设的外心,连接、,
由题意可知,:.
设点到平面的距离为,那么,解得,
由球的几何性质可得平面,平面,,
因为为的中点,那么,由正弦定理可得,
所以,那么,
故答案为:A.
【分析】利用几何体的体积求解球心到的距离,然后求解外接球的半径,即可求解外接球的外表
积.
8.【解析】【解答】作出的图象,如下列图,
当与相切时,设切点为,
那么有,解得,
所以相切时的斜率;
将函数的图象顺时针旋转,
当时,与有2个交点,满足题意;
当时,与有3个交点,不满足题意;
当时,与有1个交点,不满足题意;
当时,与有0个或1个交点,不满足题意.
故答案为:D.
【分析】作出的图象,函数有两个零点,
值范围.
二、多项选择题:.
9.【解析】【解答】如以下列图所示:
对于A选项,因为,那么,所以,直线的斜率为,A选项错
误;
对于B选项,,那么,所以,为等边三角形,
因为,所以,,B选项正确;
对于C选项,,那么且,所以,四边形为平行四边形,
所以,,C选项错误;
对于D选项,设,那么,,
所以,,
.
①假设点在第二象限,那么,,
由平面向量加法的平行四边形法那么可得,那么
,
此时,点、在同一象限;
②假设点在第四象限,可得点、,
此时,点、在同一象限
综上所述,点、在同一象限.
故答案为:BD.
【分析】求出OA所在直线的斜率判断A;证明四边形为菱形,结合可得:.
;直接求出三角形ABC的面积判断C;求出BC所在直线方程,根据直线在两坐
标轴上的截距判断D.
10.【解析】【解答】设是曲线上任一点,
,
显然的最小值在时取得,时,,当且仅当时等号成立,
;
由上面分析得曲线上的点和定点的距离与到定直线:的距离的比是:
,B符合题意;
由A,B两选项分析得曲线是双曲线,离心率是,一个焦点是,它顺时针旋转变成
,为其对称轴,因此,,,那么,
新方程是,即,C符合题意;
曲线变为,,设,那么时,,
切线方程为,令得,令得,
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积是,D不符合题意.
故答案为:ABC.
【分析】设是曲线上任一点,然后计算距离求解可判断AB,根据曲线的旋转求得新方程判断C,
求切线的三角形面积判断D。
11.【解析】【解答】二项式定理展开式定理的应用
对于A,由,A
符合题意;
对于B,可令,可得,令,得,所以
,B不符合题意;
对于C,令,得,那么
,C符合题意;:.
对于D,
对两边同时求导数
得,可令,可得
,D符合题意;
故答案为:ACD.
【分析】由题意,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,即可求得展开式的
系数和,从而得出结论.
12.【解析】【解答】,如图四面体的四个面都是直角三角形,A符合题意.
B,三个直角以为顶点,设
那么,
由余弦定理可得,所以为锐角
同理为锐角,所以为锐角三角形,B不符合题意;
,满足,C符合题意.
,,为直角三角形.
,那么在过点且与垂直的平面内,:.
,那么在过点且与垂直的平面内,
如图,当点与不重合时,
所以此时为锐角.
当点与重合时,为直角.
即时,此时,,,四点共面,D不符合题

故答案为:AC.
【分析】借助长方体模型,在长方体内取四面体,根据四面体的结构特征,对每一选项进行逐一分析判
断,可得答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】,
因为为奇函数,故,
故,而,故,,
时,,故,
故的最小值为.
故答案为:.
【分析】先把化为最简形式,再由函数为奇函数和的范围求出,然后利用三角函数的图象和性
质求出最值.
14.【解析】【解答】由的元素个数是1可知,所以中共有8个数列,
其中有一个数列既是等差数列又是等比数列,
有3个数列为等差数列而不是等比数列,有4个数列为等比数列而不是等差数列.
那么从中任取2个数列有种不同的取法.
从中取出的两个数列中,全为等差数列有种不同的取法,:.
所以这两个数列中既有等差数列又有等比数列有种不同的取法.
所以这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率为
故答案为:
【分析】中有8个数列,在中任取两个数列,根本领件总数,这两个数列中既有等
差数列又有等比数列包含的根本领件个数,由此能求出这两个数列中既有等差数列又有
等比数列的概率.
15.【解析】【解答】解:假设①正确,那么②也正确,那么不符合题意;假设②正确,此时,
,,,的最大值为18;假设③正确,此时,
,,的最大值为7;假设④正确,此时,,
,,的最大值为9;综上,的最大值为
18.
故答案为:18
【分析】根据题意,四个关系中恰有一个正确,因此可以逐个进行验证判断,得出最终结果.
16.【解析】【解答】解:,,
∵,∴,
设交点为,,
∵它们在一个交点处切线互相垂直,
∴,即,①
由交点分别代入二次函数式,整理得,
,即,②
由①②整理得,即,
所以,
令,可得,
那么过定点,
故答案为:,
【分析】先对两个二次函数进行求导,然后设交点坐标,根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到
,可得曲线恒过定点.
四、解答题:.
17.【解析】【分析】〔1〕由等差数列的通项公式和求和公式,结合为完全平方式,可得结论;
〔2〕求得,运用数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和.
18.【解析】【分析】〔1〕由结合余弦定理及四点共圆即可直接求解;
〔2〕由结合余弦定理先求出BD,然后结合余弦定理及诱导公式,和差角公式即可求解.
19.【解析】【分析】〔1〕从这60天中任取2天,那么这2天的日需求量至少有一天为35杯的概率
;
〔2〕①由题意可得:假设当天只卖出20杯,那么利润元;同理可得假设
当天只卖出25杯、30杯、35杯的利润,即可得出的分布列与;
②假设店主每天准备40杯这款新品奶茶,假设当天需求20杯,可得利润
元,;同理可得假设当天只卖出25杯、30杯、35杯、
40杯的利润,即可得出的分布列与,即可得出结论.
20.【解析】【分析】〔1〕由,,利用线面垂直的判定定理进行证明即可;
〔2〕利用面面垂直的性质定理可得平面,连结,从而得到即为直
线与平面所成角,平面与平面所成的锐二面角的平面角为,利用
边角关系求出所需线段的长,又异面直线与所成的角为,在三角形中由边角关系求
解即可.
21.【解析】【分析】〔1〕由题意,得到关于a和c的方程组,求出a,c由a,b,c的关系求出b的值即可;
〔2〕设出A、B、C、D的坐标,利用,,三点共线,得到①,由
,均值椭圆上,得到②,即可求出C点坐标,同理求出D点坐标,可得
到直线DE的方程,由直线方程进行分析求解即可得到答案.
22.【解析】【分析】〔1〕设,,根据函数
的单调性证明结论成立;
〔2〕通过讨论a的范围,求出函数的导数,根据函数的单调性确定a的取值范围即可.