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第1讲
因式分解
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
||,它和整式乘法互为逆运算
||,在
初中代数中据有重要的地位和作用
||,在其余学科中也有宽泛应用
||,学****本章知识时
||,应
注意以下几点||。
1.
因式分解的对象是多项式;
2.
因式分解的结果必定是整式乘积的形式;
3.
分解因式||,一定进行到每一个因式都不可以再分解为止;
4.
公式中的字母能够表示单项式
||,也能够表示多项式;
5.
结果若有同样因式||,应写成幂的形式;
6.
题目中没有指定数的范围||,一般指在有理数范围内分解;
7.
因式分解的一般步骤是:
(1)往常采纳一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤||。即第一看有无公因
式可提||,其次看可否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不可以实行||,可用分组分解法||,
分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法持续分解;
2)若上述方法都行不通||,能够试试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
【分类分析】
经过基本思路达到分解多项式的目的
x4
x3
x2
x1
分析步骤:
x5-x4+x3-x2+x-1
=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x4+x2+1)
=(x-1)(x4+2x2+1-x2)
=(x-1)[(x2+1)2-x2]
=(x-1)(x2+x-1)(x2-x+1)
经过变形达到分解的目的
3x2
4
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分析步骤:
x3+3x2-4
=x3+2x2+x2-4
=x2(x+2)+(x+2)(x-2)
=(x+2)(x2+x-2)
=(x+2)(x+2)(x-1)
=(x+2)2(x-1)
在证明题中的应用
例3:求证:多项式(x24)(x210x21)100的值必定是非负数
分析步骤:
(x2-4)(x2-10x+21)+100
=(x2-4)[(x-5)2-4]+100
=x2(x-5)2-4(x-5)2-4(x2-4)+16+100化简得
=x2(x-5)2-8x(x-5)+16这步是重点
=[x(x-5)-4]2
因此一个平方数必大于等于0
因式分解中的转变思想
例4:分解因式:(a2bc)3(ab)3(bc)3
分析步骤:
a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3
=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab)
=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2)
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b2)]
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[c2-(a+b)2]+c(a2-ab+b2)
=(a+b+c)(a2-ab+b2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
中考点拨:
||,三边a||,b||,c知足a216b2c26ab10bc0
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求证:ac2b
分析步骤:
配上一项:
a2+16b2-c2+6ab+10bc=0
a2+6ab+9b2-25b2-c2+10bc=0
a2+6ab+9b2=25b2-10bc+c2
(a+3b)2=(5b-c)2
因为是三角形的三边
因此a+3b>0;
且两边只和一定大于第三边:
因此5b-c>0
推出:a+3b=5b-c得出:a+c=2b
【小试牛刀】
1.
若x为随意整数||,求证:(7x)(3x)(4x2)的值不大于100||。
2.
将a2
(a1)2
(a2
a)2分解因式,并用分解结果计算62
72
422。
【实战模拟】
分解因式:
2.
已知:x
y
6
,
xy
,求:
x
3
y
3
的值||。
1
3.
矩形的周长是
28cm||,两边x||,y使x3
x2y
xy2
y3
0||,求矩形的面积||。
4.
求证:n3
5n
是6的倍数||。(此中n为整数)
5.
已知:a、b、c
2
b
2
c
2
1
1
1
1
1
1
是非零实数||,且a
1,a(
)
b(
a
)c(
)3||,求
b
c
c
a
b
a+b+c的值||。
6.
已知:a、b、c为三角形的三边||,比较a2
b2
c2和4a2b2的大小||。
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