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三角函数公式及常见题型.pdf

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授益教育
——————————————————————————————————————————————
三角函数背诵
一、基本公式
1、角度与弧度、三角函数值
角度0°30°45°60°90°
弧度
06432
1
23
sin021
22
1
32
cos120
22
33
tan01不存在
3

口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”
++—+—+
———++—
sincostan(cot)

sin
平方关系:sin2cos21商的关系:tan
cos
12
例题:1、已知sin,并且是第二象限角,求cos,tan.
13
sin4cos
2、已知sin2cos,求(1)⑵2sin22sincoscos2.
5sin2cos
1:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————

口诀:“奇变偶不变,符号看象限。”
sin()sincos()costan()tan
11
sin(2)cos()cos()cos()
22
例::.
9
cos()sin(3)sin()sin()
2
()3,
2cos()3sin()
求:的值。
4cos()sin(2)
2sin(2)sin(3)cos(3)
=,α是第四象限角,求的值.
3cos()cos()cos(4)
2:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
二、三角函数的性质
(1)三角函数的图象及性质
ytanx
ysinx
函数ycosx
图yy
y
3
3
o
22x
象xo3
2ox
2
22
2
2

定义x|xk,kZ
2
域RR
[1,1][1,1]
值域R
奇偶
性奇函数偶函数奇函数
有界
sinx1cosx1
性无界函数
最小

周期22

增区间2k,2k

22增区间2k,2k

(kZ)
(kZ)

3
区减区间2k,2k减区间2k,2k

22
间增区间k,k
(kZ)(kZ)22
(kZ)
3:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
对称
xk(kZ)xk(kZ)
轴2无对称轴
k
k,0kZ,0kZ
对称
k,0kZ22
中心

x2kkZ时,
x2kkZ时,
2
y1;
最值y1;max
max无最值
x2k1kZ时,

x2kkZ时,
2y1
min
y1
min
(2)其它变换:(0,A0)
yAsinxyAcosxyAtanx
函数
2k2
x|x,kZ
2
定义域RR
[A,A][A,A]
值域R

kkZ时是奇函数,kkZ
时是
2

kkZ奇函数,kkZ时
时是偶
2
kkZ时是奇函数
奇偶性函数。是偶函数。
AsinxAAcosxA
有界性无界函数
22
最小正

周期
4k24k2
增区间,
2k2k
22
增区间,
单
(kZ)减区间
调2k22k2
4k24k32(kZ)减区间增区间,

区,(kZ)22
2k2k
22
间,kZ(kZ)


2k2k
x(kZ)x(kZ)
对称轴2无对称轴
4:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
2k2
,0kZ

k2k2
,0kZ,0kZ
对称
2
中心
4k22k
xkZ时,xkZ时,
2
最值yA;yA;
maxmax无最值
4k2(2k)
xkZ时,xkZ
2
yA时,yA
minmin
三、图像平移变换
1、先相位变换周期变换振幅变换(先平移后伸缩)
ysinxysinxysinx0
:把图象上所有的点向左()或向
右(0)平移个单位。
ysinx:把ysinx图象上各点的横坐标伸长
1
(01)或缩短(1)到原来的倍,

纵坐标不变。
yAsinx:把ysinx图象上各点的纵坐标伸长
(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍,
横坐标不变。
2、先周期变换相位变换振幅变换(先伸缩后平移)
ysinxysinx:把ysinx图象上各点的横坐标伸长(01)
1
或缩短(1)到原来的倍,纵坐标不变。

ysinxysinx0
:把图象上所有的点向左()或向右

(0)平移个单位.

yAsinxysinxA1
:把图象上各点的纵坐标伸长()或缩短
(0A1)到原来的A倍,横坐标不变。
5:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
例:

3sin(2x)的图象可以看成把y3sin2x的图象向______平移
3
_____个单位得到;

sin(2x)的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点
48
1
的横坐标缩短到原来的,则所得图象的函数为____________;
2
四、三角恒等变换
1、两角和与差的三角函数公式:
sin()sincoscossin,cos()coscossinsin,
tantan
tan()。
1tantan
2、二倍角公式
sin22sincos;
cos2cos2sin22cos2112sin2;
2tan
tan2
1tan2
3、降幂公式
1cos21cos21
sin2;cos2;sincossin2
222
(辅助角公式)
ab
asinbcosa2b2(sincos)
a2b2a2b2
a2b2sin()
6:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
ab
cos,sin
a2b2a2b2
其中:
3
例:1设函数f(x)3cos2xsinxcosx,求f(x)的最小正周期和单调递增
2
区间

(x)2cos2x2sinxcosx1(xR,0)的最小正周期是
2
(1)求f(x)的解析式

(2)当x[0,]时,求f(x)的最值
12
五、解三角形
:
在ABC中,ABC;sin(AB)sinC;cos(AB)cosC
ABC
cossin
22
111
:SabsinCbcsinA=casinB
ABC222
:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abc
形式一:2R(解三角形的重要工具)
sinAsinBsinC
a2RsinA

形式二:b2RsinB(边角转化的重要工具)

c2RsinC
:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍..
7:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
形式一:a2b2c22bccosA
b2c2a22cacosB(解三角形的重要工具)
c2a2b22abcosC
b2c2a2c2a2b2a2b2c2
形式二:cosA;cosB;cosC=
2bc2ca2ab
例题:
1、在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.
方法1:利用余弦定理将角化为边.
b2c2a2a2c2b2
∵bcosA=acosB∴ba
2bc2ac
∴b2c2a2a2c2b2∴a2b2∴ab
故此三角形是等腰三角形.
方法2:利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA=acosB又b=2RsinB,a=2RsinA
∴2RsinBcosA=2RsinAcosB∴sinAcosB-cosAsinB=0
∴sin(A-B)=0∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π
∴A-B=0,即A=B故三角形是等腰三角形.
53
2、在△ABC中,cosA,cosB.
135
(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)设BC5,求△ABC的面积.
六、向量
1、概念:
特别提醒:
1)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或|AB|.
2)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.
3)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.(平行向
量)
5)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

①、向量的加法:(首尾相接,起点指向终点)ABBCAC
(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
(2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______
ABACCB
②、向量的减法:(起点相同,连接终点,箭头指向被减向量)
8:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
(2)法则:____三角形法则_______
③、实数与向量的积:
(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,
λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa与
a平行.
(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

(1)若a(x,y),b(x,y),则ab=(xx,yy),
11221212
ax2y2
ab=(xx,yy)11
1212
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
(2)若A(x,y),B(x,y),则ABxx,yy
11222121
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
(3)若a(x,y)和实数,则a(x,y)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(4).向量平行的充要条件的坐标表示:设a=(x,y),b=(x,y)其中ba
1122
a∥b(b0)的充要条件是xyxy0(外积等于内积)
1221
4、平面向量数量积
(1).两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则_∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b
的夹角.
特别提醒:向量a与向量b要同起点。
(2).平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则
数量|a||b|cos__叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=|a||b|cos(定义式)
abxxyy(坐标式)
1212
(3)、向量垂直的判定:设a(x,y),b(x,y),则abxxyy0
11221212
abxxyy
(4).两向量夹角的余弦(0)cos=1212
|a||b|x2y2x2y2
1122
9:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————
例题:
,若不正确,请简述理由.
①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
()
,b与c共线,则a与c也共线

,则a与b都是非零向量

(0,1),B(1,2),C(3,4)则AB2BC=
,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量
m(3,1),n(cosA,sinA).若mn,且acosBbcosAcsinC,则角A,B
的大小分别为()

,,,,
63363633
已知a2,b3,a与b的夹角为120o,求
5、
22
()1ab;(2)ab;(3)(2ab)(a3b);(4)ab
10:.
授益教育
——————————————————————————————————————————————

ABCa,b,cm3,cosA1
6、已知:A、B、C是的内角,分别是其对边长,向量,

ncosA,1,m;

2
11

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