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2019年高考数学总复习:极坐标与参数方程.pdf

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2019年高考数学总复习:极坐标与参数方程.pdf

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2019年高考数学总复****极坐标与参数方程
x=1+tsin70°,
(t为参数)的倾斜角为()
y=2+tcos70°
°°
°°
答案B
解析方法一:将直线参数方程化为标准形式:
x=1+tcos20°,
(t为参数),则倾斜角为20°,故选B.
y=2+tsin20°
cos70°sin20°
方法二:tanα===tan20°,∴α=20°.
sin70°cos20°
x=1-tsin70°
另外,本题中直线方程若改为,则倾斜角为160°.
y=2+tcos70°
x=1+2t,
(t为参数),则直线的斜率为()
y=2-3t
22
.-
33
33
.-
22
答案D
x=-3+2cosθ,
(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为()
y=4+2sinθ


答案A
x=-3+2cosθ,
解析参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x+3)2+(y-4)2=4,
y=4+2sinθ
这是圆心为(-3,4),半径为2的圆,故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.
x=2t,x=5cosθ,
4.(2018·皖南八校联考)若直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)
y=1-4ty=m+5sinθ
相切,则实数m为()
A.-4或6B.-6或4
C.-1或9D.-9或1
答案A
1/14:.
x=2t,x=5cosθ,
解析由(t为参数),得直线l:2x+y-1=0,由(θ为参数),得曲
y=1-4ty=m+5sinθ
|m-1|
线C:x2+(y-m)2=5,因为直线与曲线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
22+1
=5,解得m=-4或m=6.
5.(2014·安徽,理)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
x=t+1,
(t为参数),圆C的极
y=t-3
坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()


答案D
解析由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=
距离d=2,故弦长=2r2-d2=22.
x=t,
6.(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以
y=4+t
原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=42·sin(θ
π
+),则直线l和曲线C的公共点有()
4


答案B
x=t,
解析直线l:(t为参数)化为普通方程得x-y+4=0;
y=4+t
π
曲线C:ρ=42sin(θ+)化成普通方程得(x-2)2+(y-2)2=8,
4
|2-2+4|
∴圆心C(2,2)到直线l的距离为d==22=r.
2
∴直线l与圆C只有一个公共点,故选B.
x=1+s,x=t+3,
,已知直线l:(s为参数)与曲线C:(t为参数)相交
y=2-sy=t2
于A,B两点,则|AB|=________.
答案2
x=1+s,
解析曲线C可化为y=(x-3)2,将代入y=(x-3)2,化简解得s=1,s=2,
12
y=2-s
2/14:.
所以|AB|=12+12|s-s|=2.
12
x=2-t
8.(2017·人大附中模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程
y=1+3t
为ρ+2sinθ=0,若在圆C上存在一点P,使得点P到直线l的距离最小,则点P的直角坐
标为________.
31
答案(,-)
22
解析由已知得,直线l的普通方程为y=-3x+1+23,圆C的直角坐标方程为x2+(y
+1)2=1,在圆C上任取一点P(cosα,-1+sinα)(α∈[0,2π)),则点P到直线l的距离为
ππ
|2sin(α+)-2-23|2+23-2sin(α+)
|3cosα+sinα-2-23|33
d===.∴当α
1+322
π31
=时,d=3,此时P(,-).
6min22
x=-2+tcosα,
9.(2018·衡水中学调研)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点
y=tsinα
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.
(1)求曲线C的参数方程;
π
(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.
4
x=-1+2cosφ,π
答案(1)(φ为参数)(2)(2,),(2,π)
2
y=1+2sinφ
解析(1)由ρ=2sinθ-2cosθ,
可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,
化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
x=-1+2cosφ,
曲线C的参数方程为(φ为参数).
y=1+2sinφ
2
x=-2+t,
π2

(2)当α=时,直线l的方程为化为普通方程为y=x+2.
4
2
y=t,
2
x2+y2=2y-2x,x=0,x=-2,
由解得或
y=x+2,y=2y=0.
π
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2,),(2,π).
2
10.(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
3/14:.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
x=tcosα,
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的
y=tsinα
斜率.
1515
答案(1)ρ2+12ρcosθ+11=0(2)或-
33
解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ,ρ,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos
12
α+11=0.
于是ρ+ρ=-12cosα,ρρ=11.
1212
|AB|=|ρ-ρ|=(ρ+ρ)2-4ρρ
121212
=144cos2α-44.
315
由|AB|=10得cos2α=,tanα=±.
83
1515
所以l的斜率为或-.
33
x=-8+t,

11.(2017·江苏,理)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为t(t为
y=
2
x=2s2,
参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线
y=22s
l的距离的最小值.
45
答案
5
解析直线l的普通方程为x-2y+8=0.
因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),
|2s2-42s+8|2(s-2)2+4
从而点P到直线l的距离d==.
12+(-2)25
45
当s=2时,s=.
min5
45
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为.
5
12.(2018·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方
1
x=3+tcosα,x=,
cosθ
程为(t为参数),直线l与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点
y=tsinα
y=tanθ
4/14:.
A,B.
π
(1)若α=,求线段AB的中点的直角坐标;
3
(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求
|PA|·|PB|的值.
93340
答案(1)(,)(2)
223
1
x=,
解析(1)由曲线C:cosθ(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.

y=tanθ
1
x=3+t,
π2

当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),
33
y=t
2
代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t,t,则t+
121
t=6,
2
t+t
所以线段AB的中点对应的t=12=3,
2
933
故线段AB的中点的直角坐标为(,).
22
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2α-sin2α)t2+6tcosα+8=0,
8
则|PA|·|PB|=|tt|=||
12cos2α-sin2α
8(1+tan2α)
=||,
1-tan2α
40
由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=.
3
13.(2018·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴
为极轴,=4cosθ,直线l的参数方程是
1
25
x=1-t,
5

(t为参数).
5
y=1+t
5
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
1
x=2cosα,π
(2)若曲线C的参数方程为(α为参数),曲线C上的点P的极角为,Q为曲
214
y=sinα
线C上的动点,求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.
2
10
答案(1)x2+y2-4x=0,x+2y-3=0(2)
5
5/14:.
解析(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,
1
由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x+2y-3=0.
π
(2)因为点P的极坐标为(22,),直角坐标为(2,2),
4
点Q的直角坐标为(2cosα,sinα),
1
所以M(1+cosα,1+sinα),
2
|1+cosα+2+sinα-3|10π
点M到直线l的距离d==|sin(α+)|,
554
πππ10
当α+=+kπ(k∈Z),即α=+kπ(k∈Z)时,点M到直线l的距离d的最大值为.
4245
x=t,
14.(2018·天星大联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为
y=-1+22t
参数).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=22cos(θ
π
+),若直线l与曲线C交于A,B两点.
4
(1)若P(0,-1),求|PA|+|PB|;
(2)若点M是曲线C上不同于A,B的动点,求△MAB的面积的最大值.
210105
答案(1)(2)
39
πx=ρcosθ,
解析(1)ρ=22cos(θ+)可化为ρ=2cosθ-2sinθ,将代入,得曲线C的直
4y=ρsinθ

1
x=t,
3
22
角坐标方程为(x-1)+(y+1)=(t为参数),代入
22
y=-1+t
3
22
(x-1)2+(y+1)2=2,得t2-t-1=0,设方程的解为t,t,则t+t=,tt=-1,
31212312
因而|PA|+|PB|=|t|+|t|=|t-t|
1212
210
=(t+t)2-4tt=.
12123
(2)将直线l的参数方程化为普通方程为22x-y-1=0,设M(1+2cosθ,-1+2sinθ),
由点到直线的距离公式,得M到直线AB的距离为
|22(1+2cosθ)+1-2sinθ-1||22+4cosθ-2sinθ|
d==,
33
52210152210
最大值为,由(1)知|AB|=|PA|+|PB|=,因而△MAB面积的最大值为××
33233
6/14:.
105
=.
9
x=2+tcosφ,
1.(2018·山西5月联考改编)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
y=3+tsinφ
π
(t为参数,φ∈[0,]),直线l与⊙C:x2+y2-2x-23y=0交于M,N两点,当φ变化
3
时,求弦长|MN|的取值范围.
答案[13,4]
解析将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得,
(2+tcosφ)2+(3+tsinφ)2-2(2+tcosφ)-23(3+tsinφ)=0,
整理得,t2+2tcosφ-3=0,
设M,N两点对应的参数分别为t,t,则t+t=-2cosφ,t·t=-3,
121212
∴|MN|=|t-t|=(t+t)2-4t·t=4cos2φ+12,
121212
π1
∵φ∈[0,],∴cosφ∈[,1],∴|MN|∈[13,4].
32
2.(2018·陕西省西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,2π).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
x=3t+3,
(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数,t∈R)的距离最短,并求
y=-3t+2,
出点D的直角坐标.
33
答案(1)x2+y2-2y=0(或x2+(y-1)2=1)(2)(,)
22
解析(1)由ρ=2sinθ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsinθ.
因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0(或x2+(y-1)2=1).
x=3t+3,
(2)因为直线l的参数方程为(t为参数,t∈R),消去t得直线l的普通方程为
y=-3t+2,
y=-3x+5.
因为曲线C:x2+(y-1)2=1是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,设点D(x,y),且点D到
00
直线l:y=-3x+5的距离最短,所以曲线C在点D处的切线与直线l:y=-3x+5平
行,
y-1
0
即直线CD与l的斜率的乘积等于-1,即×(-3)=-1.①
x
0
7/14:.
因为x2+(y-1)2=1,②
00
33
由①②解得x=-或x=,
0202
3133
所以点D的直角坐标为(-,)或(,).
2222
33
由于点D到直线y=-3x+5的距离最短,所以点D的直角坐标为(,).
22
x2y2x=2+t,
3.(2014·课标全国Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
49y=2-2t

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
x2y2x=acosθ,
思路(1)利用椭圆+=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数),写出曲线C
a2b2y=bsinθ

.
d
(2),则|PA|=.转化为求关于
sin30°
θ的三角函数的最值问题,利用辅助角公式asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+φ)求解.
x=2cosθ,
答案(1)C:(θ为参数),l:2x+y-6=0
y=3sinθ
22525
(2)|PA|=,|PA|=
max5min5
x=2cosθ,
解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
y=3sinθ
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
5
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,
5
d254
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.
sin30°53
225
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
5
25
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5
x=1+3cost,
4.(2015·福建)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在
y=-2+3sint
极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴
π
为极轴)中,直线l的方程为2ρsin(θ-)=m(m∈R).
4
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
8/14:.
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
答案(1)(x-1)2+(y+2)2=9,x-y+m=0
(2)m=-3±22
解析(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
π
由2ρsin(θ-)=m,得
4
ρsinθ-ρcosθ-m=0.
所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,
|1-(-2)+m|
即=2,解得m=-3±22.
2
x=-4+cosα,x=8cosθ,
:(α为参数),C:(θ为参数).
12
y=3+sinαy=3sinθ
(1)分别求出曲线C,C的普通方程;
12
πx=3+2t,
(2)若C上的点P对应的参数为α=,Q为C上的动点,求PQ中点M到直线C:
1223
y=-2+t
(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标.
x2y285329
答案(1)C:(x+4)2+(y-3)2=1C:+=1(2),(,-)
12649555
x=-4+cosα,
解析(1)由曲线C:(α为参数),得(x+4)2+(y-3)2=1,
1
y=3+sinα
它表示一个以(-4,3)为圆心,以1为半径的圆;
x=8cosθ,x2y2
由C:(θ为参数),得+=1,
2649
y=3sinθ
它表示一个中心为坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.
π
(2)当α=时,P点的坐标为(-4,4),设Q点坐标为(8cosθ,3sinθ),PQ的中点M(-2
2
3
+4cosθ,2+sinθ).
2
x=3+2t,
∵C:∴C的普通方程为x-2y-7=0,
33
y=-2+t,
|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|
∴d=
5
|4cosθ-3sinθ-13||5sin(θ+φ)-13|
==,
55
3485
∴当sinθ=-,cosθ=时,d的最小值为,
555
9/14:.
329
∴Q点坐标为(,-).
55
(第二次作业)
x=2cosφ,
1.(2018·衡水中学调研卷)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(φ为参数),
1
y=sinφ
曲线C:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ
2
=α(ρ≥0)与曲线C,C分别交于点A,B(均异于原点O).
12
(1)求曲线C,C的极坐标方程;
12
π
(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
2
2
答案(1)ρ2=,ρ=2sinθ(2)(2,5)
1+sin2θ
x=2cosφx2
解析(1)∵(φ为参数),∴曲线C的普通方程为+y2=1,
12
y=sinφ
x=ρcosθ2
由得曲线C的极坐标方程为ρ2=.
11+sin2θ
y=ρsinθ
∵x2+y2-2y=0,∴曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
2
2
(2)由(1)得|OA|2=ρ2=,|OB|2=ρ2=4sin2α,
1+sin2α
22
∴|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,
1+sin2α1+sin2α
π2
∵0<α<,∴1<1+sin2α<2,∴6<+4(1+sin2α)<9,
21+sin2α
∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).
x=a+acosβ,
2.(2018·皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
y=asinβ
(a>0,β为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程
π3
为ρcos(θ-)=.
32
(1)若曲线C与l只有一个公共点,求a的值;
π
(2)A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求△OAB面积的最大值.
3
33a2
答案(1)a=1(2)
4
解析(1)由题意知,曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,
直线l的直角坐标方程为x+3y-3=0.
10/14:.
|a-3|
由直线l与圆C只有一个公共点,可得=a,
2
解得a=1,a=-3(舍).所以a=1.
π|AB|
(2)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,且∠AOB=,由正弦定理得=2a,

sin
3
所以|AB|=3a.
π
又|AB|2=3a2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos≥|OA|·|OB|,
3
1π1333a2
所以S=|OA|·|OB|sin≤×3a2×=,
△OAB23224
33a2
所以△OAB面积的最大值为.
4
x=2+2cost,
3.(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).在
1
y=2sint
以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2sinθ,曲线C:θ
23
π
=(ρ>0),A(2,0).
6
(1)把C的参数方程化为极坐标方程;
1
(2)设C分别交C,C于点P,Q,求△APQ的面积.
312
1
答案(1)ρ=4cosθ(2)3-
2
解析(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,
1
所以C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.
1
ππ
(2)方法一:依题意,设点P,Q的极坐标分别为(ρ,),(ρ,).
1626
π
将θ=代入ρ=4cosθ,得ρ=23,
61
π
将θ=代入ρ=2sinθ,得ρ=1,
62
所以|PQ|=|ρ-ρ|=23-1,
12
ππ
点A(2,0)到曲线θ=(ρ>0)的距离d=|OA|sin=1.
66
1123-1
所以S=|PQ|·d=×(23-1)×1=.
△APQ222
ππ
方法二:依题意,设点P,Q的极坐标分别为(ρ,),(ρ,).
1626
π
将θ=代入ρ=4cosθ,得ρ=23,得|OP|=23,
61
11/14:.
π
将θ=代入ρ=2sinθ,得ρ=1,即|OQ|=1.
62
π
因为A(2,0),所以∠POA=,
6
所以S=S-S
△APQ△OPA△OQA
1π1π
=|OA|·|OP|·sin-|OA|·|OQ|·sin
2626
1111
=×2×23×-×2×1×
2222
1
=3-.
2
4.(2018·河北保定模拟)在平面直角坐标系中,将曲线C上的每一个点的横坐标保持不变,
1
1
纵坐标缩短为原来的,,x轴的正半轴为极轴,建立极坐
22
标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2.
1
(1)求曲线C的参数方程;
2
(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l与l分别交曲线C于A,C和B,D,且点
122
A在第一象限,当四边形ABCD的周长最大时,求直线l的普通方程.
1
x=2cosθ1
答案(1)(θ为参数)(2)y=x
y=sinθ4

解析(1)由ρ=2,得ρ2=4,因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角
1
坐标方程为x2+y2=4.
x2
由题可得曲线C的方程为+y2=1.
24
x=2cosθ
所以曲线C的参数方程为(θ为参数).
2
y=sinθ
(2)设四边形ABCD的周长为l,点A(2cosθ,sinθ),
21
则l=8cosθ+4sinθ=45(cosθ+sinθ)=45sin(θ+φ),
55
12
其中cosφ=,sinφ=.
55
π
所以当θ+φ=2kπ+(k∈Z)时,l取得最大值,最大值为45.
2
π
此时θ=2kπ+-φ(k∈Z),
2
41
所以2cosθ=2sinφ=,sinθ=cosφ=,
55
455
此时A(,).
55
12/14:.
1
所以直线l的普通方程为y=x.
14
2
x=3-t,
2
5.(2018·湖北鄂南高中模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
2
y=5+t
2
(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x
轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程为ρ=25sinθ.
(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若点P的坐标为(3,5),求|PA|+|PB|.
答案(1)y=-x+3+5,x2+(y-5)2=5(2)32
2
x=3-t,
2

解析(1)由直线l的参数方程(t为参数)得直线l的普通方程为y=-x+3+
2
y=5+t
2
5.
由ρ=25sinθ,得x2+y2-25y=0,
即圆C的直角坐标方程为x2+(y-5)2=5.
x2+(y-5)2=5,
(2)通解:由得x2-3x+2=0,
y=-x+3+5
x=1,x=2,
解得或
y=2+5y=1+5.
不妨设A(1,2+5),B(2,1+5),又点P的坐标为(3,5).
故|PA|+|PB|=8+2=32.