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初等数论试卷
单项选择题:〔1分/题×20题=20分〕
,为的整数局部,那么( )
A.; B.;
C.; D..
( )
;
〔其中是整数,且不全为零〕有一整数解,那么此方程的一切解可表为( )
A.
B.
C.
D.
( )
,12,13; ,24,25;
,4,5; ,16,17
( )
A.
B.
C.
D.
( )
A. B.
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C. D.
( )
A. B.
C. D.
,同余式的所有解为( )
.
9、设f(x)=其中为f(x)的一个解,那么:()
A.
B.
C.
D.
:〔〕
;
,那么p只能为以下质数中的:()
,那么()
A.
B.;
C.;
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D..
13.()
;()
,2,,2,4,6,,2,3,4,6,
,以下数中,m可能等于:()
,以下式子成立的是:()
.
.
:()
(mobius)函数w(a);
;
;
;
,>0,>0,那么对模的指数是()
19.,均为可乘函数,那么()
;
;
,那么有()不成立
.
:〔每题1分,共10分〕
=____________________;
:,其中,,…,,N均为整数,,有整数解的充分必要条件是___________________;
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,,,能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________;
,的一个解,那么它的所有解为_________________________;
〔wilson〕定理:________________________________________;
=________________________________________;
,那么是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件);
,原根的个数是_______________________;
,为模的一个原根,那么模的一个原根为_____________;
。
:〔5分/题×4题=20分〕
“任意奇数的平方减1是8的倍数〞对吗?说明理由。
32.“假设,通过模的简化剩余系,那么也通过模的简化剩余系〞这命题是否正确?正确请证明,不正确请举反例。
。
,记为的正因数的和,为的正因数的个数,那么=?=?为什么?
。〔7分/题×4题=28分〕
+93y=75的一切整数解。
≡11(mod125)
。
五、证明题:〔7分/题×2题=14分〕
39、试证:,〔x,y〕=1y是偶数的整数解可写成:
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这里,,并且一为奇数,一为偶数。
40、设a为正整数,试证:
其中表示展布在a的一切正因数上的和式。
六、应用题:〔8分〕
41、求30!中末尾0的个数。
参考答案
:ABCDD;DACCB;DCAAD;BCBAB。
:;22.;23.;24.;25.!+1为素数;;
27.;28.;;
::命题正确。
而必为2的倍数。
86页
。
,,,
故1,2,4,8,9,13,15,16为摸17的平方剩余,而3,5,6,7,10,11,12,14为摸17的平方非剩余。
34.
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证明:假设为可乘函数,那么.
分别令,它们为可乘函数,即得出。
:因为,故原不定方程有解。
又原方程即,而易见方程有解
。所以原方程的一个解是
所以,原方程的一切整数解是:〔〕
t是整数
:因为模5,6,7两两互质,由孙子定理得所给同余方程组关于模
5×6×7=210有唯一解,分别解同余方程:
,,,得
,,
因此所给同余方程组的解是:
即:
:从同余方程,
,
,
是
得
即是所给方程的一个解,于是所解为:
解毕。
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:为其质因数
,故g为模13的原根的主要条件是:
,
用g=1,2,……12逐一验证,得:2,6,7,11为模13的原根,
因为,故模13原根只有4个,即为所求。
五、证明题:
:易验证所给的解为原方程的解,因y为偶数,原方程可化为:
但
而x,z=1,所以〔,〕=1
由书中引理,我们可假设
=,=b
显然>b,(,b)=1,于是
X=-b,z=+,y=2
因子为奇数,所以,b一定是一为奇,一为偶,证毕
:假定,---,为的所有正约数,那末
,---,也是的所有正约数,于是
=
再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数
必定是,---,中某一个数,而完全剩余系中与的最
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大公约数为的数有,所以:
=m证毕
:
:5在30!中的最高次幂=++
=6+1+0=7
2在30!的最高次幂=++++
=15+7+3+1+0=26
10=2×5,故30!的末尾有7个零。