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使得
有
则称为的一个极大值点(或极小值点)
极大值点与极小值点统称为极值点.
极大值与极小值统称为极值.
1)函数的极值是函数的局部性质.
2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或
不存在的点(称为可疑极值点).
称为的一个极大值(或极小值)
注意
第一页,共31页。
函数极值的求法
定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)
定义
注意:
例如,
设
在点
处具有导数,且在
处取得极值,
则
第二页,共31页。
定理2(第一充分条件)
(是极值点情形)
设
在点
处连续,
(1)若
时,
而
时,
则
在点
处取得极大值;
(2)若
时,
而
时,
则
在点
处取得极小值;
(3)若
时,
的符号相同,则
在点
处无极值.
第三页,共31页。
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
第四页,共31页。
例1
解
列表讨论
极大值
极小值
第五页,共31页。
图形如下
第六页,共31页。
例2
解
第七页,共31页。
的极值.
解
得驻点
不可导点
是极大值点,
其极大值为
是极小值点,
其极小值为
例3求函数
不存在
第八页,共31页。
定理3(第二充分条件)
证
同理可证(2).
二阶导数,且
则在点取极大值;
则在点取极小值.
设函数f(x)在点x0处具有
第九页,共31页。
例4
解
图形如下
第十页,共31页。