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初三数学数学总复习系列-圆(一)-609.doc

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初三数学数学总复习系列-圆(一)-609.doc

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例1、PA切⊙O于A,AB^OP于B,PO=12cm,OB=3cm,求PA长。
分析:因为有PA切⊙O于A,根据切线的性质,切线垂直于过切点的半径,可以得到直角三角形,又因为AB^PO于B,可以利用相似三角形的知识去进行计算,再利用直角三角形去计算。
解:连接OA
∵PA切⊙O于A,
∴OA^PA于A,ÐPAO=90°
又∵AB^OP于B
∴ABO∽AOP
∴OA2=OB·PO
∴OA2=3×12
∴OA=6
在RtAPO中

说明:有切线时,经常加的辅助线是连切点与圆心,也常利用直角三角形中的有关知识,利用相似形的知识进行计算。

例2、PA切⊙O于A,过O的割线PO交⊙O于B,PA=,PB=2,求⊙O的半径。
分析:图中有圆O的切线,那么可做过切点的半径,那么有直角三角形中的关系,可设半径为x,那么其它各直角边可用含有x的式子表示,再利用方程思想,找到等量关系列出方程,可以求出未知数的值。
解:连接OA,
∵PA切⊙O于A,
∴OA^PA
设⊙O的半径为R
∵PB=2,那么PO=2+R
在RtPAO中,


解得R=4
∴圆的半径为4
说明:方程思想是一种重要的数学思想,将数,未知数找到等量关系,列出方程,求出未知数的值,要学会构通与未知的联系,利用方程思想考虑问题。

例3、OA为⊙O的半径,C是⊙O上一点,CD^OA于D,B是OA延长线上一点,CA平分ÐBCD,求证:BC是⊙O的切线。
分析:要证BC是⊙O的切线,根据判定定理可以证BC是切线,因为圆上有点,属于圆上有点,可以连结圆心与圆上点,证明垂直。
证明:连结OC,
∵CA平分ÐBCD,ÐBCA=ÐACD,
∵OA=OC,∴ÐOAC=ÐOCA,∵CD^AO于D
∴ÐOAC+Ð2=90°
又∵Ð1=Ð2
∴Ð1+ÐOCA=90°
∴OC^BC
∴BC为⊙O的切线。
说明:切线的判定要看所证直线是否与圆有交点,当有交点时,可以用判定定理证,因此辅助线是连接圆心与点,再证明垂直关系,假设没有点时,可以做垂线,证明垂线长等于圆的半径,即利用圆心到直线距离等于半径而判定直线与圆相切。

例4、ABC的内切圆分别与AB、BC、AC内切于D、E、F,ÐA=60°,BC=6,ABC周长为16,求DF。
分析:条件中知⊙O与三角形三边相切,切点为D,E,F,ABC周长为16,求的DF线段要找到与三角形其它边的关系。可以由切线长定理找到关系。
解:∵AB切⊙O于D,AC切⊙O于F,
∴AD=AF,
又∵ÐA=60°
∴ADF为等边三角形
∴AD=DF=AF
又∵⊙O为ABC的内切圆
AB,BC,AC切⊙O于D,E,F
∴BD=BE,CF=CE
又∵AB+BC+AC=16
∴AD+BD+AF+FC+6=16
∴2DF+BD+FC=10
∴2DF+BE+EC=10
∴2DF=4
∴DF=2

例5、直角三角形的两直角边长为a,b,求直角三角形的内切圆半径。
分析:直角三角形的内切圆半径与三边都垂直,可以利用面积的求法去求内切圆的半径,也可以由切线长定理分析边之间的关系而求。特别要能观察到的图形是从圆心向两条直角边所引的垂线段中,构成一个正方形的图形,这对找到内切圆半径与边的关系也很重要。
解法一:如图,RtABC中,ÐC=90°,AB,BC,AC切⊙O于D,E,F。设BC=a,AC=b, 连接OD,OE,OF,设内切圆半径为R,
∴OD^AB,OE^BC,OF^AC
根据面积的计算公式

又∵OE=OF=OD=R
∴(a+b+AB)·R=ab


解法二:
∵AB,BC,AC切⊙O于D,E,F
由切线长定理
∴AD=AF,BD=BE,CE=CF
又∵OE=OF=R ÐFCE=90° ÐOFC=ÐOEC=90°
∴OECF为正方形,
∴EC=FC=R
AB=BD+AD=BE+AF=a-R+b-R



说明:直角三角形的内切圆半径计算是很有用的,可以记住此题的推导方法,也可以记住有关的结论,对于解决直角三角形内切圆的问题很有帮助。运用面积去思考问题,是个很好的思路,因为内切圆半径是分割成的三角形的高,因此可以用面积去思考。

例6、等腰三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,过B,C分别作⊙O的切线,这两切线相交于D,假设ÐBDC=100°,求ÐABC的度数
分析:由切线长定理,可知BD=CD,那么可求得ÐCBD,ÐBCD度数,∵ÐCBD为弦切角,根据弦切角定理的推论,可求得ÐBAC的度数,那么可求得ÐABC的度数。
解:∵BD、DC为⊙O的切线,
∴DB=DC
又∵ÐBDC=100°,
∴ÐCBD=ÐBCD=40°
∴ÐBAC=ÐCBD=40°
又、∵AB=AC

例7、,如图,菱形ABCD的边长为5,对角线AC,BD交于O,且AO,BO长分别是方程的两个根。求m的值及菱形ABCD内切圆的面积。
分析:这是一道代数,几何知识的综合题,假设求内切圆的面积,应当求出内切圆的半径,菱形的对角线互相垂直,ÐAOB=90°,连圆心与切点后,根据切线的性质,又与切线垂直,这样根据这些关系可求出圆的半径,进而求出圆的面积。
解:∵AO,BO长是的根
∴AO+BO=2m-1
AO·BO=4(m-1)
又∵ÐAOB=90° ∴


解得m1=-1,m2=4
∵当m=-1时,AO+BO<0不合题意舍去。
∴m=4
设切点为E,连OE,∴OE^AB
∴AB·OE=AO·BO

∴S⊙O=。
【综合练****br/> (1)选择题
①以下直线中一定是圆的切线是( )





②三角形的内心是( )




③下面图形中,一定有内切圆的是( )

④如图,⊙O内切于ABC,切点分别为E、F、G,ÐB=40°,ÐC=60°,那么ÐEOG=
( )
° °
° °
⑤一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为( )
A. B. C. D.
(2)填空题
①⊙O的直径为20cm,从圆外一点P向⊙O所作的两条切线PA与PB的夹角为60°,那么PO长为 。
②ABC为⊙O上三点,ÐABO=20°,ÐACO=30°,DC是过C的切线,那么ÐBCD=
③⊙O的半径为6cm,弦AB长,以O为圆心,以3cm为半径的圆与AB的位置关系是 。
④假设腰长为4cm的等腰梯形外切于圆,那么梯形的中位线长是 。

⑤等腰三角形腰长为5cm,底边长为8cm,内切圆半径为 。

(3)解答题
①在同心圆O中,AB是大圆的直径,CD是小圆的直径,AB∶CD=3∶2,大圆的弦EF切小圆于D,EC交小圆于G,,求EG的长。
②延长⊙O的直径BA到C,使AC=1,CD切⊙O于D,且CD长是⊙O半径的倍。①求证:BCD∽BDO ②求BD长
③如图,以RtABC的直角边AC为直径作⊙O,交斜边AB于D,E是另一条直角边BC的中点。
1)求证:DE是⊙O的切线
2)如果AD=4,,求DE的长。
【答案或提示】:
1、①C ②A ③C ④B ⑤A

2、①20cm ②80° ③相切 ④4cm ⑤
提示:填空②中要利用三角形内角和定理及弦切角定理及推论而求得。第④小题中要利用切线长定理,分析出圆外切四边形的对边和相等,即上、下底的和等于两腰长,从而得出中位线长。第⑤小题用面积的思路求内切圆的半径。
3、(1)提示:可连接DG,可以构造出双垂直的根本图形,由于有切线,应用切线的性质可找到垂直的关系。
解:连接DG,设AB=3x,CD=2x
∵CD为小圆直径,
∴ÐCGD=90°
∵EF切⊙O于D,∴ÐEDC=90°
又∵AB是直径,∴
又∵CD=2x,

解得x=4
又∵EDG∽EDC




(2)证明:如图,∵OD、OB是半径,∴OB=OD
∵CD是半径的倍,设半径为R,那么CD=
CD切⊙O于D,连OD,那么ÐCDO=90°


解得R=1
∴OC=2,DO=1,∴ÐDCO=30°,ÐDOC=60°
又∵OD=OB
∴ÐOBD=ÐODB=30°
∴BD=CD=
BCD与BDO中,
ÐOBD=ÐODB=30°
ÐCBD=ÐDCB=30°
∴BCD∽BDO

(3)分析:要证DE是切线,连OD可以证垂直。
i)证明:连结OD,DC
∵AC为直径,
∴ÐADC=90°,那么ÐBDC=90°
∵E为BC中点,∴BE=EC=DE
∴Ð1=Ð2
又∵OC、OD为半径
∴Ð3=Ð4
∵ÐACB=90°,即Ð1+Ð4=90°
∴Ð2+Ð3=90°
∴DE是⊙O切线
ii)∵ÐCDA=90°,∴CD^AB于D
又∵ÐBCA=90°
∴BC2=BD·AB