线性代数应用举例.ppt

文档介绍：线性代数应用实例
取自《线性代数机算与应用指导(MATLAB)版》

例 1 平板稳态温度的计算
为了计算平板形导热体的温度分布,将平板划分为许
多方格,每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个
节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的
线性方程组,方程的解将取决于平板的边界条件。
这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。
T1
T2
T3
T4
平板温度计算的模型
整理为
A=[4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4];
b=[30; 50; 60; 80];
U=rref([A,b])
MATLAB 程序(ma1)
运行结果为:
U =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
向高阶系统扩展
则要解 25 阶的线性方程组。
运行书上的程序得温度分布
如下
将平板分割得愈细,求出的解就愈精确。如果把上
述区域分成 25 个点如右
MATLAB 程序ma2
例 2 交通流的建模
对于一个有双向车流的十
字路口,根据流出流入车
数相等的规则,可以列出
下列方程组:
节点A:x1360x2260
节点B:x2220x3292
节点C:x3320x4357
节点D:x4260x1251
相应的矩阵方程为:
A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];
b=[-100;72;37;-9];
U=rref([A,b])
MATLAB 程序(ma3)
运行结果为:
U = 1 0 0 -1 9
0 1 0 -1 109
0 0 1 -1 37
0 0 0 0 0
由于 U 的最后一行为全零,也就是说,四个方程中实
际上只有三个独立。x4 可以任设,因为如果有一些车沿
此路口环行,对方程无影响,故方程组的解可如上表示.
把上述模型扩展到多个十字路,乃至整个城市,就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的 6 节点交通流图,它就要由 6 个方程和 7 个变量来描述。用行最简型方法可以知道,它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。
向高阶系统扩展
左图描述了四个城市之间的航空
航线图,其中1、2、3、4 表示四
个城市;带箭头线段表示两个城
市之间的航线。设行号表示起点
城市,列号为到达城市,则
定义邻接矩阵 A 为:
例 3 飞机航线问题
转机航线的数学模型
不难证明:矩阵 A^2=A*A 表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市,矩阵 A^3=A*A*A 表示连续坐三次航班可以到达的城市:
其中,第 i 行描述从城市 i 出发,可以到达各个城市的
情况,若能到达第 j 个城市,记 A(i,j)=1,否则 A(i,j)=0,
规定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示:从城市 2
出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。