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平面分析几何硬解方法及便利规律【收藏】
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平面分析几何
圆锥曲线对比表
硬解定理内容
结论与推论
第一局部圆锥曲线对比表
椭圆
圆锥曲线
双曲线
抛物线
标准方程
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
y2=2px(p>0)
范围
x∈[-a,a]
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)
x∈[0,+∞)
y∈[-b,b]
y∈R
y∈R
对称性
对于x轴,y轴,原点对称
对于x轴,y轴,原点对称
对于x轴对称
极点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(a,0),(-a,0)
(0,0)
焦点
(c,0),(-c,0)
(c,0),(-c,0)
(p/2,0)
【此中c2=a2-b2】
【此中c2=a2+b2】
准线
x=±a2/c
x=±a2/c
x=-p/2
渐近线
——————
y=±(b/a)x
—————
离心率
e=c/a,e∈〔0,1)
e=c/a,e∈〔1,+∞〕
e=1
焦半径
∣PF∣=a+ex
∣PF∣=∣ex+a∣
∣PF∣=x+p/2
∣PF∣=a-ex
∣PF∣=∣ex-a∣
焦准距
p=b2/c
p=b2/c
p
通径
2b2/a
2b2/a
2p
参数方程
x=a·cosθ
x=a·secθ
x=2pt2
y=b·sin,θθ为参数
y=b·tan,θθ为参数
y=2pt,t为参数
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过圆锥曲线上一点
(x0,y0〕的切线方程
x0·x/a2+y0y/b2=1·
x0x/a2-y0y/b2=1·
y0·y=p(x+x0)
斜率为k的切线方程
y=kx±√(a2·k2+b2)
y=kx±√(a2·-b2)k2
y=kx+p/2k
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第一局部硬解定理内容
CGY-EH定理〔圆锥曲线硬解定理〕
假定曲线
与直线Aχ+By+C=0订交于E、F两点,那么:
此中△‘为一与△同号的值,
定理说明
应用该定理于椭圆时,应将代入。
应用于双曲线时,应将代入
同时不该为零,即ε不为零。
求解y1+y2与y1*'的值不会所以而改变。
定理增补
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联立曲线方程与y=kx+
是现行高考取比联立〞Ax+By+C=0“更加广泛的现象。此中联立后的二次方程是标准答案中必不行少的一项,x1+x2,x1x2都能够直接经过该方程与韦达定理求得,惟独弦长的表达式需要大批计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。
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假定曲线与直线y=kx+订交于E、F两点,那么:
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里的既能够是常数,也能够是对于假定曲

k的代数式。由个公式我能够推出:
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,
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假定曲双曲
,
因为在高考取CGY-EH定理不能够直接用,所以学生这样解答才可得全步分〔省略号的内容需要考生自己填写〕:
立双方程得⋯⋯〔二次式子〕〔*〕
所以x1+x2=⋯⋯①,x1x2=⋯⋯②;
所以|x1-x2|=√〔x1+x2〕^2-4x1x2=⋯⋯〔此代入①、②式获得一个大式子,但不用化〕
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化得|x1-x2|=

(地直接套公式,不用真化

)
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下边便可求弦
了。
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定理简证
曲x^2/m+y^2/n=1①与直Aχ+By+C=0②订交于E、F两点,立①②式可得最的二次方程:
(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+C^2m-mnB^2=0
用达定理,可得:
x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2m+B^2n)
x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/(A^2m+B^2n)
=4mnB^2(ε-C^2)
于等价的一元二次方程的数不独一,且的意在于其与零的关系,故由4B^2>0恒建立,可
取与同号的'=mn(ε-C^2)作的。[3]
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|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2)=√((1+A^2/B^2〖)[(x_1+x_2)〗^2-4x_1x_2])
可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2m+B^2n-C^2))/(|A^2m+B^2n|)
令ε=A^2m+B^2n获得CGY-EH定理:
x_1+x_2=(-2ACm)/ε;x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/ε;'=mn(-C^2)ε;|EF|=(2√((A^2+B^2)'))/(|ε|)
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第一局部结论与推论
一、椭圆的常用结论:
点P处的切线PT均分△PF1F2在点P处的外角.
PT均分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除掉长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
假定
在椭圆
x2
y2
上,那么过
x0x
y0y
.
P0
(x0,y0)
a2
b2
1
P0
的椭圆的切线方程是a2
b2
1
6.
假定P0(x0,y0)在椭圆x
2
y
2
P1、P2,那么切点弦P1P2的直线方程
2
2
1外,那么过P0作椭圆的两条切线切点为
a
b
是
x0xy0y
1.
a
2
b
2
7.
椭圆
x2
y2
1
(a>b>0)的左右焦点分别为
1,F2,点P为椭圆上随意一点
F1PF2
,那么椭圆的焦
a2
b2
F
点角形的面积为SF1PF2
b2tan
2
.
8.
椭圆
x2
y2
1
〔a>b>0〕的焦半径公式
|MF1|aex0
,
|MF2|aex0
(
F1(
c,0)
,
F2(c,0)M(x0,y0)
).
a2
b2
9.
设过椭圆焦点F作直线与椭圆订交
P、Q两点,A为椭圆长轴上一个极点,连接
AP和AQ分别交
相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,那么MF⊥NF.
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F的直线与椭圆交于两点
P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的极点,A1P和A2Q交于点M,
A2
P和A1Q交于点N,那么MF⊥NF.
2
2
2
2

y2
1
的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,那么kOM
kAB
b
2,即KAB
b2x0。
a
b
a
ay0
(x0,y0)在椭圆
x2
y2
1内,那么被Po所均分的中点弦的方程是
x0xy0yx02
y02
;
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
b
2
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【推论】:
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x2y2
1、假定P0(x0,y0)在椭圆a2b21内,那么过Po的弦中点的轨迹方程是

x2
y2
x0xy0y
。椭圆
x2
y2
1
〔a
a2
b2
a2
b2
a2
b2
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>b>o〕的两个极点为1
2
,与y轴平行的直线交椭圆于
、
P2
时A
1P1
与A
2P2
交点的轨迹方
A(a,0)
,A(a,0)
P1
程是
x2
y2
1.
a
2
2
b
2、过椭圆
x2
y2
1
(a>0,b>0)上任一点
A(x0,y0)
随意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C两点,那么
a2
b2
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2
直线BC有定向且kBCb2x0
ay0

〔常数〕.
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x2
y2
1
1
2是焦点,
PFF
PF
F
3、假定P为椭圆
a2
b2
〔a>b>0〕上异于长轴端点的任一点,F,F
12
,
2
1
,那么
a
c
cot
.
a
tan
2
c
2
4、设椭圆
x2
y2
1〔a>b>0〕的两个焦点为F1、F2,P〔异于长轴端点〕为椭圆上随意一点,在△
PF1F2
a
2
b
2
中,记
F1PF2
,
PF1F2
,
F1F2P,那么有
sin
c
sin
e.
sin
a
5、假定椭圆
x2
y2
1
〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1、F2,左准线为L,那么当0<e≤
21
时,可在
a
2
b
2
椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离
d与PF2的比率中项.
6、P为椭圆x
2
2
2
y2
1〔a>b>0〕上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内必定点,那么
a
b
2a
|AF2|
|PA|
|PF1|
2a
|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号建立.
7、椭圆
(xx)2
(yy)2
2222
2
.
0
0
1
与直线
AxByC0
有公共点的充要条件是
AaBb(Ax0
By0
C)
a2
b2
8、椭圆
x2
y2
1
〔a>b>0〕,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
OP
OQ
.〔1〕
a2
b2
1
1
1
1
;〔2〕|OP|2+|OQ|
4a2b2
a2b2
2.
2
2
a
2
b
2
2的最大值为
2
b
2;〔3〕SOPQ的最小值是
a
2
b
|OP||OQ|
a
9、过椭圆
x2
y2
1
〔a>b>0〕的右焦点F作直线交该椭圆右支于
M,N两点,弦MN的垂直均分线交
a2
b2
x轴于P,那么|PF|
e.
|MN|
2
10、椭圆
x2
y2
1
〔a>b>0〕
,A、B、是椭圆上的两点,线段
AB的垂直均分线与
x轴订交于
a2
b2
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