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(含答案详析)
(含答案详析)
课时作业
一、选择题
1.(2013·辽宁高考)下边是对于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递加数列;
p2:数列{nan}是递加数列;
an
p3:数列{n}是递加数列;
p4:数列{an+3nd}是递加数列.
此中的真命题为
( )
1,p2
,p4
,p3
,p4
[如数列-2,-1,0,1,2,,则1×a1=2×a2,
an
清除p2,如数列1,2,3,,则n=1,清除p3,应选D.]
.
·泉州质检
若数列
n
是等差数列,且
a
3+a7=4,则数列{an
的前
9
项
2(2014
)
{a}
}
和S9等于
(
)
A.
27
2
9
9(a+a)9(a+a)
9×4
B
[S=
1
9
3
7
2=18.]
2
=
2
=
3.(2014·东北三校联考)
等差数列
n
5+a6=4,则log21·2a2··2a10
{a}中,a
(2a
)
=
(
)
+log25
10(a1+a10)
B[依题意得,a1+a2+a3++a10=
2
5(a5+a6)=20,
所以有log2(2a1·2a2··2a10)=a1+a2+a3++a10=20.]
4.(2014·北京海淀模拟)若数列{an}知足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为
( )
[∵an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
ak≥0,22-3k≥0,
设前k项和最大,则有∴
ak+1≤0,22-3(k+1)≤0.
22∴3≤k≤3.
∵k∈N*,∴k=.]
{an}的前n项和为Sn,而且S10>0,S11<0,若Sn≤Sk对n∈N*恒建立,则正整数k的值为
( )
[由S10>0,S11<0知a1>0,d<0,而且a1+a11<0,即a6<0,又a5+a6>0,
所以a5>0,即数列的前5项都为正数,第5项以后的都为负数,所以S5最大,
则k=5.]
n
,
n
为等差数列且
b
n=an+1-an∈
*
)
.若
3=-2,
{a}
的首项为3
{b}
(n
N
b
10=12,则a8=
b
( )
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
[因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,
12-(-2)
故公差d===-6,
10-3
且bn=2n-8(n∈N*),
即an+1-an=2n-8.
所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6==a1+(-6)+(-4)+(-2)+0
2+4+6=3.]
二、填空题
7.(2012·广东高考)已知递加的等差数列{an}知足a1=1,a3=a22-4,则an=
________.
分析设等差数列公差为d,
∵由a3=a22-4,得1+2d=(1+d)2-4,解得d2=4,
即d=±,故d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
答案2n-1
{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则
k=________.
分析a7-a5=2d=4,
则d==a11-10d=21-20=1,
k(k-1)2*
Sk=k+×2=k=∈N,故k=3.
答案3
{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对随意自然数n都有Sn=Tn
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
2n-3
9
3
-
,则
a
a
5+b7+
8+b4的值为________.
4n
3
b
b
分析
∵{an
,
n
为等差数列,
}
{b}
∴a
a
=a
+a=
a+a
+
9
3
9
=a.
3
9
3
6
2b62b6
2b6
b6
b5+b7b8+b4
S
a1+a11
2a
2×11-3
19
a
19
11
=
6
=
=
6
∵=
2b6
,∴=.
T11
b1+b11
4×11-
3
41
b6
41
19
答案
41
三、解答题
10.(2014·林省质测吉)已知数列{an}中,a1=2,an=2-1(n≥2,n∈N*).
an-1
(1)设bn=
1
(n∈N*),求证:数列{bn}是等差数列;
an-1
(2)设cn=
1
(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
n·bn+2
b
分析
(1)证明:∵an=2-
1
,∴an+1=2-1
.
a
an
n-1
∴bn+1
-bn=
1-
1
=
1
-
1
an+1-1
an-1
1
-1
an-1
2-an
an-1
=
=1,
n-1
a
{bn}是首项为b1=1=1,公差为1的等差数列.
2-1
(2)
由
(1)
知n=n,
b
1+=
1
1
∵cn=
1
=1·n-
+
,
bnbn2
n·(n+2)
2
n2
11111
Sn=21-3+2-4+3-5+
1
n-1-n+1+n-n+211
1
1+
1
1
1
=
2-
+
-
+
2
n
1
n2
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
3
2n+3
=
4-
2(n+1)(n+2).
1n-1
+2(n∈N*),数
11.(2014·济宁一模)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-2
列{bn知足n=2n·an
.
}b
(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)
设
c
n=log2
n
,数列
2
的前n项和为Tn,求知足Tn<25
∈
*
)
的
n
的
an
nn+2
(n
N
cc
21
最大值.
分析
(1)证明:在Sn=-n-
1n-1
a
2
+2中,
令n=1,可得S=-a-1+2=a,得a=2.
1
1
1
1
1
当n≥2时,S
=-a
-
1n-2
2
+2,
n-1
n-1
∴a=S-S
=-a+a
+
1n-1
2
,
n
n
n-1
n
n-1
即2a
=a
+
1n-1
.
2
n
n-1
∴2n·an=2n-1·an-1+1.
∵bn=2n·an,∴bn=bn-1+1.
又b1=2a1=1,∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
n
于是bn=1+(n-1)·1=n,∴an=2n.
n
n
(2)∵cn=log2an=log22
=n,
∴2
=
2
=1-1
.
cncn+2
n(n+2)
nn+2
∴Tn=1-
1
1
1
1
1
3
+-
4
++n-
+
2
n
2
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
1
1
1
=1+-
n+1
-.
2
n+2
由Tn<25,得1+1-1-1<25,
212n+1n+221
即1+1>13,f(n)=1+1单一递减,
n+142n+1n+2n+2
∵f(3)=
9
,f(4)=
11,f(5)=
13,
20
30
42
∴n的最大值为4.
12.(2013·纲版全国高考大)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(1)求{an}的通项公式;
1
(2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
分析(1)设等差数列{an}的公差为d,
则an=a1+(n-1)d.
a7=4,a1+6d=4,
因为所以
a19=2a9,a1+18d=2(a1+8d).
1
解得a1=1,d=2.
n+1
所以{an}的通项公式为an=2.
(2)bn=
1
2
2
2
,
=
=-
n+1
nan
n(n+1)
n
2
2
2
2
2
2
所以Sn=(-)+(-)++(-)
1223nn+1
2n.
n+1
(含答案详析)
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