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初中数学规律探究题的解法指导
广南县篆角乡初级中学郭应龙
新课标中明确要求:用代数式表示数量关系及所反映的规律,开展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜,频繁考查,考生大都感到困难重重,无从下手,导致丢分。解决此类问题的关键是:“细心观察,大胆猜想,精心验证〞。 笔者认为:只要善于观察,细心研究,知难而进,就会走出“山穷水尽疑无路〞的困惑,收获“柳暗花明又一村〞的喜悦。
一、数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的根本结构,然后通过横比〔比较同一等式中不同局部的数量关系〕或纵比〔比较不同等式间相同位置的数量关系〕找出各局部的特征,改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要局部,解决此类问题注意以下三点:
,常用字母n表示正整数,从1开始。
,分清奇偶,记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…
①1、4、9、16......n2②1、3、6、10……
③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=
⑤1+3+5+…+(2n-1)=n2⑥2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦12+22+32….+n2=n(n+1)(2n+1)⑧13+23+33….+n3=n2(n+1〕
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法,解决此类问题常用的方法有以下两种:
:①1×=1-②2×=2-③3×=3-
④4×=4-……猜想第几个等式为〔用含n的式子表示〕
分析:将等式竖排:
①1×=1-观察相应位置上变化的数字与序列号
②2×=2-的对应关系〔注意分清正整数的奇偶〕
③3×=3-易观察出结果为:
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④4×=4-n×=n-
:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729……,那么
32023的个位数字是。
分析:这类问题,主要是通过观察末位数字,找出其循环节共几位,然后用指数除以循环节的位数,结果余几,就和第几个数的末位数字相同,易得出此题结果为:3
,再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…,如此继续下去,结果如下表:
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
4
7
10
13
…
an
那么an=〔用含n的代数式表示〕
分析:对结果数据做求差处理〔相邻两数求差,大数减小数〕
正三角形个数:4、7、10、13第一次求差结果相等,用一次函数y=kx+b
第一次求差:333代入〔1、4〕〔2、7〕解之得:y=3x+1
∴an=3n+1
:1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律,用你发现的规律确定第8个数为。
分析:对这组数据做求差处理:原数125101726
第一次求差:13579
第二次求差:2222
第二次求差结果相等,同二次函数y=ax2+bx+c代入〔1、1〕〔2、2〕〔3、5〕
解之得y=x2-2x+2=〔x-1〕2+1∴当=8时,y=50
尝试练****br/>:1×3=12+2×1;2×4=22+2×2;3×5=32+2×3……请将
你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来:。
:×2=+2;×3=+3;×4=+4;×5=+5……
设n为正整数,用关于n的等式表示这个规律为。
:=2;=3;=4……请你将猜想到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。
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4.:2+=22×;3+=32×;4+=42×;5+=52×…,假设
10+=102×符合前面式子的规律,那么a+b=。
以下等式:①13=12;②13+23=32;③13+23+33=62;④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式:。
6、观察以下算式:,,,
请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:.
1、下面有8个算式,排成4行2列
2+2,2×2
3+,3×
4+,4×
5+,5×
……,……
〔1〕同一行中两个算式的结果怎样?
〔2〕算式2023+和2023×的结果相等吗?
〔3〕请你试写出算式,试一试,再探索其规律,并用含自然数n的代数式表示这一规律。〔5分〕
2、你能很快算出吗?〔5分〕
为了解决这个问题,我们考察个位上的数为5的正整数的平方,任意一个个位数为5的正整数可写成10n+5〔n为正整数〕,即求的值,试分析,2,3……这些简单情形,从中探索其规律。
⑴通过计算,探索规律:
可写成;
可写成;
可写成;
可写成;
………………
可写成________________________________
可写成________________________________
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⑵根据以上规律,试计算=
3〔5分〕
;;
   
  〔1〕猜想填空:
   〔2〕计算①
②23+43+63+983+……+1003
1、观察等式:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,……
猜想:〔1〕1+3+5+7…+99=;
(2)1+3+5+7+…+〔2n-1〕=_____________.〔结果用含n的式子表示,其中n=1,2,3,……〕。
2、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,
-;;-;;;;……;第2023个数是。
二、图形规律探究
由结构类似,多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻,并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法〞解决问题。
拆图法
,由假设干火柴棒摆成的正方形,第①图用了4根火柴,第②图用了7根火柴棒,第③图用了10根火柴棒,依次类推,第⑩图用根火柴棒,摆第n个图时,要用根火柴棒。
〔1〕
〔2〕
〔3〕
分析:本例①可拆为即1+3=4〔根〕第②拆为即
1+32=7〔根〕;第③图可拆为即1+33=10(根)由此可知,
第⑩图为1+310=31〔根〕,第n个图为:〔3n+1〕根。
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:那么第④堆三角形的个数为;第〔n〕堆三角形的个数为。
△△△
△△△
△△△△△
△△△△△△
△△△△△△△
①②③
分析:本例中需要进行比较的因素较多,于是把图拆为横向和纵向两局部,就横向而言,把三角形个数抽出来,就是3,5,7…这是奇数从小到大的排列,其表达式为:2n+1;就纵向而言,发现三角形个数依次增加一个:第①堆有2个,第②堆有3个,第③堆有4个,所以第〔n〕堆的个数就为〔n+1〕个。所以第n堆三角形的总个数为:〔n+1〕+(2n+1)即(3n+2)个。
尝试练****br/>-①,图7-②,图7-③,图7-④,,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广〞字,按照这种规律,第5个“广〞字中的棋子个数是________,第个“广〞字中的棋子个数是________
,那么第5个大三角形中白色三角形有个.
……
n=1
n=2
n=3
〔3〕是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为,那么=.〔用n的代数式表示〕
〔1〕
〔2〕
〔3〕
,按以下列图的方式铺地板,那么第〔3〕个图形中有黑色瓷砖 __________块,第个图形中需要黑色瓷砖__________块〔用含的代数式表示〕.
,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,那么第个图形需要黑色棋子的个数是.
通过对此专题的复****和指导,我想你会有所感悟,有所收获,,展示你的能力,体验成功的快乐!
三、课外拓展:
:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729……那么32023的个位数字是。
:71=7,72=49,73=343,74=2041……由此可判断7100的个位数字是。
,,,……中得到巴尔末公式,从而翻开了光谱微妙的大门,按此规律第七个数据是。
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=+=,a2=+=,a3=+=……按此规律,那么a99=。
5.=1-,=-,=-……,那么+++
…+=;用相同思路探究:++…+=。
,每一幅图中有假设干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,那么第4幅图中有个,第n幅图中共有个.
…
…
第1幅
第2幅
第3幅
第n幅
图5
,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图由7个圆组成,第3个图由19个圆组成,,按照这样的规律排列下去,那么第9个图形由_______个圆组成.
:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有个小圆.
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
第1次第2次第3次第4次···
···
,那么第n次所搭图形的周长是_______________cm〔用含n的代数式表示〕。
图10
,Rt△ABC中,AC=3,BC=4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2,再过A2作A2C2⊥BC,垂足为C2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA1,A1C1,,…,那么CA1=,