五校第一学期高二期末考试数学试题.pdf

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五校—度第一学期高二期末考试数学试题请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
:〔每题5分,计70分〕15.(15分)
1.“对任何xR,|x2||x4|3〞的否认是____▲____
1
2.“m〞是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解〞的▲条件〔填充分不必
4
要、必要不充分、充要、既不充分亦不必要之一〕
(x)=x3-15x2-33x+6的单调递增区间是▲
和共面的直线m、n假▲个
⊥,m⊥n,那么n∥∥,n∥,那么m∥n
,n∥,那么m∥、n与所成的角相等,那么n∥m
=x3-2x+4在点〔1,3〕处的切线的倾斜角为▲
∈R,假设函数y=ex+ax有大于0的极值点,那么实数a的取值范围是▲
=3x绕原点逆时针旋转900,再向右平移1个单位,所得到的直线方程为▲
(1,2)的直线l将圆C:(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的
16.(15分)(1)
斜率k=▲
1、F2,满足MF1MF2=0的点M总在椭圆
的内部,那么椭圆的离心率的取值范围是
▲
=8x的焦点为F,准线为
l,P为抛物线上一点,PA⊥l,
(2)
果直线AF的斜率为3,那么|PF|=▲
,如果连接Ω中
任意两点的线段必定包涵Ω,那么称Ω为
平面上的凸集,给出平面上4个点集的图
形如下〔阴影区域及其边界〕:其中为凸
集的是▲〔写出所有凸集相应图形的序号〕.
A1B1C1D1中,AB2,P是B1C1的中点,那么四棱锥PA1BCD1
(3)
的体积为______▲_______.
x2y2
1中,以点M〔-1,2〕为中点的弦所在的直线斜率为▲
169
x2
0,设p:yc在R上单调递减,q:g(x)ln(2cx2x1)的定义域为R,如果
“p或q〞“p或q〞c的取值范围是______▲___.
:〔计90分〕
2+mx+1>,r(x)s(x)为假,r(x)s(x)为真,求实数m的取值范围。
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16.〔此题总分值14分〕
如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,
DE=a,P为AB的中点.
〔1〕求证:平面PCF⊥平面PDE;F
〔2〕求证:AE∥平面BCF.
E
D
C
APB
17.〔此题总分值15分〕过点A〔0,1〕且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交
于M、N两点.
(1).求实数k的取值范围
(2).求证:AMAN为定值
(3).假设O为坐标原点,且OMON=12,求直线l的方程
18.〔此题总分值15分〕圆A:(x1)2y24与x轴负半轴交于B点,过B的弦BE与y
轴正半轴交于D点,且2BD=DE,曲线C是以A,B为焦点且过D点的椭圆.
〔1〕求椭圆的方程;
〔2〕点P在椭圆C上运动,点Q在圆A上运动,求PQ+PD的最大值.
19.〔此题总分值16分〕如图,抛物线M:yx2bx(b0)与x轴交于O,A两
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点,交直线l:yx于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C。〔I〕求证:当b变化
时,圆C的圆心在一条定直线上;〔II〕求证:圆C经过除原点外的一个定点;
〔III〕是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径?
20.〔此题总分值16分〕
函数f(x)x2bsinx2,(bR),且对任意xR,有f(x)f(x).
〔1〕求b;
〔2〕g(x)f(x)2(x1)alnx在区间〔0,1〕上为单调函数,求实数a的取值范围.
12x
〔3〕讨论函数h(x)ln(1x2)f(x)k的零点个数?(提示:[ln(1x2)]')
21x2
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数学参考答案15.(15分)

1.xR,|x2||x4|.〔-∞,-1〕和〔11,+∞〕注:含-1或11
22
.(,1)+3y-1=.(0,)
422
89
.②③.〔0,1〕∪(1,+∞)
332
:

:∵sinx+cosx=2sin(x)2
4
∴2………………3分
.分
2+mx+1>0恒成立,有△=m2-4<0,-2<m<2………………6分16(15)(1)
那么由题知r(x)真,s(x)假时有m≤-2………………9分
r(x)假,s(x)真时有2m2………………12分
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(2)
(3)
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故m(,2][2,2)………………14分
:〔1〕在矩形ABCD中,由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=22a……………1分
又CD=4a,由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分
因为CF⊥平面ABCD,那么PD⊥CF……………………5分
由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分
故平面PCF⊥平面PDE……………………7分
〔2〕作FC中点M,连接EM、BM
由CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD可得CM∥DE,又CM=DE=a,得四边形DEMC为
平行四边形……………………9分
故ME∥CD∥AB,且ME=D=AB,所以四边形AEMB为平行四边形
故AE∥BM……………………12分
又AE平面BCF,BM平面BCF,所以AE∥平面BCF.……………………14分
注:此题也可以用平面ADE∥平面BCF证。
:(1).法一:直线l过点A〔0,1〕,且斜率为k,那么直线l的方程为y=kx+12分
将其代入圆C方程得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,由题意:△=[-4〔1+k〕]2-28(1+k2)>0得
4-747
k………………5分
33
法二:用直线和圆相交,圆心至直线的距离小于半径处理亦可
2
(2).证明:法一:设过A点的圆切线为AT,T为切点,那么AT=AMAN
而AT2=〔0-2〕2+(1-3)2=7………………7分

AMAN|AM||AN|cos07为定值………………10分
法二:用直线和圆方程联立计算证明亦可
(3).设M〔x1,y1〕,N(x2,y2)由〔1〕知
44k
xx
121k2
………………12分
7
xx
121k2
2
OMONx1x2y1y2(1k)x1x2k(x1x2)1
4k(1k)………………14分
812
1k2
k=1符合范围约束,故l:y=x+1………………15分
3
:(1)………………4分
B1,0,E(2,3),D0,,
3
3
椭圆方程为x23y21………………7分
4
〔2〕PQPD(PA2)PD(PAPD)2………………10分
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4343
PAPDPBPDDB=2………………14分
33
所以P在DB延长线与椭圆交点处,Q在PA延长线与圆的交点处,得到最大值为223.
15分
:〔I〕易得O(0,0),A(b,0),B(1b,1b).
设圆C的方程为x2y2DxEy0,
b2bD0,
则
22
(1b)(1b)(1b)D(1b)E0.
Db,
解得
Eb2.
故经过三点O,A,B的圆C的方程为x2y2bx(b2)y0.………………4分
设圆C的圆心坐标为(x0,y0),
bb2
则x,y,yx1,
020200
这说明当b变化时,〔I〕中的圆C的圆心在定直线yx1上。………………6分
〔II〕设圆C过定点(m,n),则m2n2bm(b2)n0,
整理得(mn)b(m2n22n)0,
mn0,
它对任意实数b0恒成立,………………9分
22
mn2n0.
m1,m0.
解得或
n1.n0.
故当b变化时,〔I〕中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为〔—1,1〕。11分
bb2
〔III〕抛物线M的顶点坐标为〔,〕,假设存在这样的抛物线M,使它的顶点与
24
它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径,
b2b2b2(b2)2
那么||,………………14分
2444
整理得(b22b)20,因为b0,所以b2.
以上过程均可逆,故存在抛物线M:yx22x使它的顶点与C的距离不大于圆C的
半径。………………16分
:〔1〕由f(x)(x)2bsin(x)2f(x)
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得b0.………………2分
〔2〕g(x)f(x)2(x1)alnx
x22xalnx
a
所以g(x)2x2(x0)………………4分
x
a
依题意,2x20
x
a
或2x20在〔0,1〕上恒成立………………6分
x
即2x22xa0
或2x22xa0在〔0,1〕上恒成立
11
由a2x22x2(x)2在〔0,1〕上恒成立,
22
可知a0.
11
由a2x22x2(x)2在〔0,1〕上恒成立,
22
可知a4,所以a0或a4.………………9分
1
〔3〕h(x)ln(1x2)x21k,
2
1
令yln(1x2)x21.
2
2x(x1)x(x1)
所以yx………………10分
1x2x21
令y0,那么x11,x20,x31,列表如下:
〔-∞,-〔-1,〔0,〔1,+
x-101
1〕0〕1〕∞〕
y+0—0+0—
极大值极大值
h(x)单调递增1单调递减极小值1单调递增1单调递减
ln2ln2
22
1
所以当kln2时,函数无零点;
2
1
当k1或kln2时,函数有两个零点;
2
当k1时,函数有三个零点。
1
当1kln2时,函数有四个零点。………………16分
2
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