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【黄冈中考】备战中考数学——全等三角形的押轴题解析汇
编一
全等三角形
一、选择题
〔江苏省宿迁市,7,3〕如图,∠1=∠2,那么不一定能使△ABD≌△ACD的条件是〔▲〕
==CDC.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA
A
12
BC
D
〔第7题〕
【解题思路】∠1=∠2,还有一个公共边AD=AD,具备了一边一角的条件,可用SAS
添加AB=AC,可用ASA添加∠BDA=∠CDA,可用AAS添加∠B=∠C,假设添加BD=CD,那么
是“SSA〞不能判定两个三角形全等.
【答案】B.
【点评】此题是一道探索型问题,
方法有SSS、SAS、AAS、ASA,要根据条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即
可,但是需注意添加边时,.
3.〔江西南昌,10,3分〕如图以下条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是〔〕
=DC,AB=ACB.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CADD.∠B=∠C,BD=DC
【解题思路】要证明△ABD≌△ACD,就要用到三角形全等的判定
方法,其中AD=AD是隐含条件,有条件A时,可用SSS证两三角形全等;有条件C时,可
用AAS证两三角形全等;有条件B时,
形全等.
【答案】D
【点评】要证三角形全等,
件,.
1.〔安徽芜湖,6,4分〕如图,△ABC中,ABC45,F是高AD和BE的交点,
CD4,那么线段DF的长度为〔〕.
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题

【解题思路】在Rt△ABD中,∠ABD=45°=∠BAD,得AB=AD,而∠CAD+∠C=∠FBD+∠C,得
∠CAD=∠FBD,又∠BDF=∠ADC=90°,∴△BDF≌△ADC,∴DF=CD.
【答案】B.
【点评】由三角形全等得对应边相等,,
再根据条件,利用垂直的定义、同角或等角的余角相等、等角对等边等知识,为三角形准
.
二、填空题A
1.〔福建泉州,14,4分〕如图,点P在∠AOB的平分线上,PE⊥
OA于E,PF⊥OB于F,假设PE=3,那么PF=.
DE
BC
〔第11
【解题思路】利用角平分线的性质,角平分线上的点,到角两题〕
边的距离相等。得到PFPE3
【答案】3;
【点评】考查角平分线定理的应用,熟记角平分线定理是应用的根底,难度较小。
江苏省宿迁市,11,3〕将一块直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,展开后平铺
在桌面上〔如下图〕.假设∠C=90°,BC=8cm,那么折痕DE的长度是▲cm.
11
【解题思路】可以证明DE是△ABC的中位线,所以DE=BC=×8=4.
22
【答案】4.
【点评】,涉及到折叠三角
形,全等三角形,及三角形中位线的性质“三角形的中位线等于第三边的一半〞等知
.
三、解答题
1.〔常州市第22题,本小题5分〕
:如图,在△ABC是,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,DE=DC
求证:AB=AC
【解题思路】由角平分线能得到两个角相等,根据SAS可证△AED≌△ACD,进而证得∠C=∠
E=∠B,所以AB=AC.
【解答】∵AD平分∠EDC,∴∠EDA=∠CDA,∵DE=DC,AD=AD,∴△AED≌△ACD,
∴∠C=∠E,∵∠E=∠B,∴∠C==∠B,∴AB=AC.
【点评】解答此题的关键是通过证明全等三角形实现等角的转化,进而得到等边。
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题
2.〔江苏连云港,20,6分〕两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如下图的方式叠
放,阴影局部为重叠局部,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两局部△AOF与△DOC
是否全等?为什么?
B(E)
FC
E
O
B
A第20题D
A
【解题思路】由题意知△ABC≌△DEF,由全等三角形的性质,可得AF=DC,进而可证△DAOF
D
≌△DOC。
【答案】证明:∵三角形纸板ABC和DEF完全相同
∴AB=DBBC=BF∠A=∠D
∴AB-BF=BD-BC,即AF=CD
在△AOF和△DOC中
∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,AF=CD
∴△AOF≌△DOC
【点评】此题考查全等三角形的性质及三角形全等的判定,考察了学生简单的推理能力。
难度较小。
1.(广东广州,18,9分)〔9分〕如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边
AB、AD上,且AE=AF。
求证:△ACE≌△ACF
AFD
【解题思路】要证明△ACE≌△ACF,已经具备条件AE=AF,公共边AC,
还需一个条件第三边或夹角。结合条件,四边形ABCD是菱形ABCD
E
根据菱形的对角线平分一组对角,得到∠CAE=∠CAF,从而利用SAS
证明△ACE≌△ACF。BC
【答案】∵AC是菱形ABCD的对角线,∴∠CAE=∠CAF
在△ACE和△ACF中,AE=AF,∠CAE=∠CAF,AC=AC
∴△ACE≌△ACF
【点评】此题考查了三角形全等的判定,而且巧妙的和菱形的性质结合起来,设计巧妙,
难度较小。
2..(广东河源,21,此题总分值9分)
如图〔1〕,线段AB的长为2a,点P是AB上的动点〔P不与A,B重合〕,分别以AP、
PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
〔1〕当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=___________;〔直接写结果〕
〔2〕连结AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变
化?请说明理由;
〔3〕如图〔2〕,假设点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转〔旋转角小于
180°〕,此时α的大小是否发生变化?〔只需直接写出你的猜测,不必证明〕
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题


〔2〕
〔1〕3
【解题思路】设AP为x,那么PB为a-x,△APC的面积为x2,△BPD的面积为
4
3
(2ax)2,列出两三角形面积和的二次函数解析式,通过二次函数求极值得出面积和
4
最小时AP的值;通过△APD≌△CPB,得到∠PAD=∠PCB,由等量代换得到
∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200,所以∠AQC=1800-1200=600.
【答案】〔1〕a;〔2〕α的大小不会随点P的移动而变化,
理由:∵△APC是等边三角形,∴PA=PC,∠APC=600,
∵△BDP是等边三角形,∴PB=PD,∠BPD=600,∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,∴△APD≌△CPB,∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠AQC=1800-1200=600;
(3)此时α的大小不会发生改变,始终等于600.
【点评】本例考查了二次函数的极值及三角形全等的有关知识,解题关键是关于面积和的
二次函数的建立及三角形全等知识的应用,会因不能整体代换而导致错误,难度较大.
3.〔广东省,13,6分〕:如图,E,F在AC上,AD//CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.
AD
F
E
BC
【解题思路】要证明AE=CF,只要证明AF=CE即可,只要证明△AFE≌△CEB即可
【答案】∵AD//CB,∴∠A=∠C,又∵AD=CB,∠D=∠B,∴△AFE≌△CEB,∴AF=CE
所以AFFE=CEFE,即AE=CF.
.难度较小.
4.〔福建泉州,〕如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AC=DF,∠ACB=∠
证:△ABC≌△DEF.
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题
【解题思路】先证明BC=EF,再由边角边定理证明两三角形全等。
【答案】证明:∵BE=CF,∴BC=EF,又∵AC=DF,∠ABC=∠F,∴△ABC≌△DEF.
【点评】利用等量加等量,结果仍相等,确定两三角形的两边及夹角对应相等,证明两三
角形全等,是证明三角形全等的根本方法,难度较小。
5.(江苏镇江,22,5分):如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=
∠B,DE=DC.
求证:AB=AC.
A
E
BDC
【解题思路】欲证AB=AC,需证∠B=∠∠E=∠B,因此需证∠E=∠
三角形全等得出.
【答案】证明:∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC.∴∠E=∠∠E=∠B,∴∠B=∠C.∴AB=AC.
【点评】此题考查全等三角形的证明,等腰三角形的性质等知识,1.〔四川内江,18,9
分〕在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角是45°的直角
三角板AED如图放置,使三角形斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、
与EC的数量及位置关系,并证明你的猜测.
E
A
D
B
C
【思路分析】由直角及45°锐角先说明∠EDC=∠EAB=135°,再由AC=2AB,点D是
AC的中点说明AB=DC,然后证明△EAB≌△EDC,推出BE=EC,∠DEC=∠AEB,结合∠DEC、
∠AEB同加公共角BED=∠AED=90°,说明BE⊥EC.
【答案】解:BE=EC,BE⊥EC.
证明:∵∠BAC=90°,∠EAD=45°,
∴∠EAB=135°,
又∠EDA=45°,
∴∠EDC=∠EAB=135°.
1
又∵AD=DC,AB=AC,
2
∴AB=DC,
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题
又∵AE=DE,
∴△EAB≌△EDC,
∴BE=EC,∠DEC=∠AEB,
∴∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED=90°,
即BE⊥EC.
【点评】题目涉及等腰三角形以及较多的等边时,一般通过证明三角形全等来解答,
、底角是45
度这些隐含条件来说明三角形全等,切勿忽略等角同加减公共角而无法说明两线段垂
直.
1.〔湖北省武汉市∠B=∠C.
分析:三角形全等的判定及三角全等的性质。
答案:证
明:在△ABE和△ACD中,AB=AC∠A=∠AAE=AD
∴△ABE≌△ACD
∴∠B=∠C
点评:此题属于全等三角形中最常见的题目,难度不大。
2.〔湖北襄阳,21,6分〕如图6,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.①AB=
AC;②AD=AE;③BD=CE.,③;①③②;②③①.
.
【答案】〔1〕①②③;①③②;②③①.
〔2〕选择①③②.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
ABAC

在△ABD和△ACE中,∵B=C,∴△ABD≌△ACE.∴AB=AE.

BDCE
【点评】
21.〔湖南衡阳21,6分〕〔本小题总分值6分〕如图9,在△ABC中,AD是中线,分别
过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、=CF.
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(整理版)备战中考数学全等三角形的押轴题
【解题思路】要证线段相等,=CF,只需证△
BDE≌△CDF,由AD是中线可得BD=CD,由垂直的定义可得∠BED=∠CFD=900,于是可利用
AAS证明△BDE≌△CDF.
【答案】证明:∵AD是中线,
∴BD=CD
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=900
在△BDE和△CDF中,
BEDCFD

BDECDF

BDCD
∴△BDE≌△CDF
∴BE=CF.
【点评】此题主要考查三角形全等的判定和性质,是常规题目,即通过证明三角形全等
来证明线段相等,
题型,也是中考的热点.
18.〔湖北随州,18,7分〕如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上
中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,假设AE=4,FC=3,求EF长.
A
D
E
BFC
第18题

【思路分析】首先连接BD,由等腰直角三角形ABC,可推出BD⊥AC且BD=CD=AD,∠
ABD=45°再由DE丄DF,可推出∠FDC=∠EDB,又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°,所以
△EDB≌△FDC,从而得出BE=FC=3,那么AB=7,那么BC=7,BF=4,再根据勾股定理求出EF
的长.
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【答案】解:连接BD,
∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,
∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,
∴∠C=45°,
又DE丄DF,
∴∠FDC=∠EDB,
∴△EDB≌△FDC,
∴BE=FC=3,
∴AB=7,那么BC=7,
∴BF=4,
在直角三角形EBF中,
EF2=BE2+BF2=32+42,
∴EF=5.
答:EF的长为5.
【点评】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定,关键是由先证三角形全等,
求得BE和BF,.
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