三角数列知识点总结.pdf

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....
三角函数知识点总结

(1)终边相同的角:所有与角终边相同的角(连同角在)可以用式子k360,kZ来表示。
与角终边相同的角的集合可记作:{|k360,kZ}或{|2k,kZ}。
※角的集合表示形式不是唯一的;终边相同的角不一定相同,相同的角一定终边相同。
(2)象限角:角的顶点与坐标轴原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几
象限,就称这个角为第几象限的角。
象限角集合表示象限角集合表示
第一第二

x2kx2k,kZx2kx2k,kZ
22
象限象限
第三第四
33
x2kx2k,kZx2kx2k2,kZ
22
象限象限
※角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
(3)轴线角:角的终边在坐标轴上的角称为轴线角。
轴线角集合表示轴线角集合表示
x轴非负半轴{x|x2k,kZ}x轴非正半轴{x|x2k,kZ}

x轴{x|xk,kZ}y轴非负半轴xx2k,kZ
2
3
y轴非正半轴xx2k,kZy轴xxk,kZ
22
1
坐标轴xxk,kZ
2

.资料...:.
....
(1)1弧度的角:等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2)度数与弧度数的换算:
180

①180弧度;②1弧度;③1弧度。
180
(3)有关扇形的一些计算公式:
11R
①;②SR;③SR2;

R22
1
④C(2)R;⑤SSSR2(sin)。
弓扇形2

sin
(1)商数关系:tg;(2)平方关系:sin2cos21,
cos

:“奇变偶不变(的奇数倍还是偶数倍),符号看象限(原三角函数名)”。
2

sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tgtg
tg()(变形:tgtgtg()(1tgtg))。
1tgtg
、半角公式
(1)二倍角公式:
2tg
sin22sincos,cos2cos2sin22cos2112sin2,tg2;
1tg2
、半角公式的功能
(1)并项功能:1sin2(sincos)2(类比:1cos22cos2,1cos22sin2);
(2)升次功能:cos2cos2sin22cos2112sin2;
1cos21cos2
(3)降次功能:cos2,sin2。
22
:
.资料...:.
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ba
asinbcosa2b2sin()(其中sin、cos)
a2b2a2b2
二、解三角形
abc
:2R。
sinAsinBsinC
:a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC。

已知条件定理选用一般解法
一边和两角由ABC180,求角A,由正弦定理求出b与
正弦定理
1
(如a、B、C)c。SacsinB。在有解时只有一解。
2
有余弦定理求出第三边c,由正弦定理求出小边所
两边和夹角
余弦定理对的角,再由ABC180求出另一角。
(如a、b、C)
1
SabsinC。在有解时只有一解。
2
三边由余弦定理求出角A、B,再利用A+BC180,
余弦定理
1
(如a、b、c)求出角C。SabsinC。在有解时只有一解。
2
由正弦定理求出角B,由ABC180求出角C。
两边和其中一边的对角
1
正弦定理再利用正弦定理求出c边。SabsinC。可能有两解、
2
(如a、b、A)
一解或无解。
A90A<90
a>b一解一解
ab无解一解
a<b无解a>bsinA:两解;absinA:一解;a<bsinA:无解
.资料...:.
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三、三角函数

yy
11

O2xO2x
11
正弦函数ysinx余弦函数ycosx
y


22
Ox
正切函数ytgx
.资料...:.
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
k
2
正弦型函数yAsin(x)的对称轴为x(kZ);对称中心为

k
,0(kZ);类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心。


函数ysinxycosxytgx
{x|xR,且x
定义域RR

k,kZ}
2
值域[1,1][1,1]R
奇偶性奇函数偶函数奇函数
有界函数有界函数
有界性无界函数
|sinx|1|cosx|1
周期性
(最小正周T2T2T
期)
在
[2k,2k]
上
在2k,2k在k,

222
是增函数;
上是增函数;
k上
单调性在2
3
在2k,2k

22[2k,2k]是增函数
上是减函数(kZ)上(kZ)
是减函数
(kZ)
.资料...:.
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函数ysinxycosxytgx

x2k,x2k,
2
y1;y1;
maxmax

最大(小)值x2k,x2k,无
2
y1y1
minmin
(kZ)(kZ)

(1)函数yAsin(x)B(A0)、
yAcos(x)B(A0)的最小正周期y
2
T;Ox
||
(2)函数yAtg(x)B(A0)、
yActg(x)B(A0)的最小正周期

T;
||
(3)用函数图像求函数的最小正周期;如:y|sinx|
注意:两个周期函数的和或差不一定为周期函数,如ysinxsinx)
数列知识点总结
、等比数列的证明须用定义证明!
S(n1)
,则其通项为a1(nN),若aS满足,

nnSS(n2)11

nn1
则通项公式可写成aSS。
nnn1
,利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟
练地进行计算,是高考命题重点考查的容。
.资料...:.
....
,经常要运用各种数学思想:
(1)函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n的函数,所以等差等比数列的
某些问题可以化为函数问题求解;
等差数列等比数列
n(n1)
Snad
求和n12a(1qn)aaq
11n(q1)
S1q1q
(aa)nn
公式S1nna(q1)

n21
dd
Sn2anaa
n212S11qn(q1)
n1q1q
d>0:抛物线开口向上
a
令1A,则SAAqn,即
重要1qn
d<0:抛物线开口向下
性质SABqn
San2bncn
n
AB0:{a}为等比数列;
c0:{a}为等差数列;n
n
AB0:{a}从第二项起为等比数列。
c0:{a}从第二项起为等差数列。n
n
如:等比数列{a}的前n项和S1k2n1,数k。
nn
a(1qn)
(2)分类讨论思想:①用等比数列求和公式应分为S1(q1)及Sna(q1);②已
n1qn1
知S求a时,也要进行分类;
nn
一、基本概念:
:
.资料...:.
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;
;
(减)、摆动、周期数列;
{a}的通项公式a;
nn
;
n
、公差d、等差数列的结构;
、公比q、等比数列的结构。
二、基本公式:
S(n1)
:a1(nN);

nnnSS(n2)

nn1
:aa(n1)d,aa(nk)d(其中a为首项、a为已知的第k项)
n1nk1k
aa
dnm;
nm
当d≠0时,a是关于n的一次式;当d0时,a是一个常数;
nn
n(n1)n(aa)
:Snad,S1n;
n1n2
2
当d0时,S是关于n的二次式且常数项为0;当d0时(a0),Sna是关于n的正比例式;
n1n1
:aaqn1,aaqnk(其中a为首项、a为已知的第k项,a0)
n1nk1kn
a
qnmn;

a
m
a(1qn)aaq
11n(q1)
:S1q1q。
n
na(q1)

1
注意:公比q=1和q1的分类讨论!
39
如:在等比数列{a}中,已知a,S,求a。
n32325
三、有关等差、等比数列的一些重要结论
.资料...:.
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{a}的任意连续M项的和构成的数列S、SS、SS、SS、…仍为等差
nM2MM3M2M4M3M
数列。
{a}中,若mnpq,则aaaa;
nmnpq
{a}中,若mnpq,则aaaa;
nmnpq
{a}的任意连续M项的和构成的数列S、SS、SS、SS、…(且每项
nM2MM3M2M4M3M
都不为0)仍为等比数列。
{a}与{b}的和差的数列{ab}、{ab}仍为等差数列。
nnnnnn
a1
{a}与{b}的积、商、倒数组成的数列{ab}、n、仍为等比数列。
nnnnbb

nn
{a}为等比数列,且bloga(a>0且a1,a>0),则{b}为等差数列;
nnannn
{a}为等差数列,且baan(a>0且a1),则{b}为等比数列;
nnn
9等差数列{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
n
{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
n
:ad,a,ad;四个数成等差的设法:a3d,ad,,ad,a3d;
aaa
:,a,aq;四个数成等比的错误设法:,,aq,aq3(为什么?)
qq3q
{a}中:
n
Sa
(1)若项数为2n,则SSnd,偶n1;Sn(aa);
偶奇Sa2nnn1
奇n
Sn
(2)若项数为2n1,则SSa奇,S(2n1)a;
奇偶n1Sn12n1n
偶
aaa3n1a
如:(1)已知{a}与{b}是两个等差数列,且12n对任意正整数n都成立,求n;
nnbbb4n3b
12nn
(2)若两个等差数列的前n项的和之比是(7n1):(4n27),求它们的第11项之比。
Sm2a
(3)在等差数列{a}中,若m(mn),求m的值。
nSn2a
nn
.资料...:.
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SSa
{a}中:(1)若项数为2n,则偶q;(2)若项数为2n1,则奇1q;
nSS
奇偶

yynyy
○x○x
OO
○○
xx
OO
a0,b0a0,b>0a0,b<0a>0,b0
yyyy
○○○○x
xxOxO
OO
a<0,b0a>0,b>0a>0,b<0a<0,b<0
y
○x
O
.资料...:.
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a<0,b>0
如:(1)已知等差数列中SS(mn),求S。
mnmn
(2)已知等差数列{a}首项为a(a>0),且SS,问当n为何值时,此数列的前n项和最大。
n11917
S
{a}中,所有的点n,n共线。
nn

如:(1)已知等差数列的S32,S56,求S和S。(求S也可以考虑利用:“等差数列{a}
48121312n
的任意连续M项的和构成的数列S、SS、SS、SS、…仍为等差数列”)
M2MM3M2M4M3M
(2)已知等差数列的Sm,Sn(m>n),求S。
nmmn
四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、倍差法(错位相减法)、倒序相加法等。关键是
找数列的通项结构。
:如a2n3n;
n
(错位相减法)求:如a(2n1)2n;
n
1
:如a;
nn(n1)
:如anCn;
n100
五、求数列{a}的最大、最小项的方法:
n
{a}中,有关S的最值问题,常用邻项变号法求解:
nn
a0
(1)当a>0,d<0时,满足m的项数M使得S取最大值;

1a0m

m1
a0
(2)当a<0,d>0时,满足m的项数M使得S取最小值。

1a0m

m1
、作商比大小;
.资料...:.
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0

(1)aa…0;如:a2n229n3;
n1nn

0
1
a9n(n1)
(2)n11(a>0);如:a;
ann10n
n
1
n
(3)研究函数af(n)的增减性;如:a;
nnn2156
aa0aa0
(4)解不等式组nn1(a最大项)或nn1(a最小项);

aa0naa0n

nn1nn1
.资料...