文档介绍：MATLAB程序设计教程(第二版)
刘卫国主编
中国水利水电出版社
第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解
MATLAB线性方程组求解
MATLAB非线性方程数值求解
MATLAB常微分方程初值问题的数值解法
MATLAB最优化问题求解
背景
经济与工程中的许多问题最后都可以转化为求解线性方程组
许多数值计算问题(如样条函数、常微分方程数值解、差分方程等)的研究也往往归结为此类问题
线性方程组的数值法
直接法——经过有限次算法运算求出精确解,最常用的是:高斯消元法、矩阵LU分解
迭代法——从初值出发,用递推的方法,给出近似解序列。常用的方法:雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法。
列昂杰夫的“投入-产出”模型:列昂惕夫用线性代数研究经济数学模型,1949年曾用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数42个方程的方程组。
 投入产出分析的方法基础包括:线性方程组和矩阵运算(静态模型)、微分方程和差分方程(动态模型)、电子计算机。
第三章矩阵代数
设有n个经济部门,xi为部门i的总产出,cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗,di为外部对部门i的需求,fj为部门j新创造的价值。
分配平衡方程组
消耗平衡方程组
i =1,2,…,n
第三章矩阵代数
投入产出分析
令 C =(cij),X = (x1, …, xn)',D = (d1, …, dn)’,F= (f1, …, fn)’, 则
X=CX+D
令 A = E-C,E为单位矩阵,则
AX = D
C称为直接消耗矩阵
A称为列昂杰夫(Leontief)矩阵。
10/10/2017
7
第三章矩阵代数
Y = [1,1,…,1] B
Y表示各部门的总投入,称为投入向量。
新创造价值向量 F=X –Y '
B=C
B表示各部门间的投入产出关系,称为投入产出矩阵。
其中
常数项
所谓一般线性方程组是指具有形式:
由m个方程n个未知量的线性方程构成的方程组
矩阵形式:
线性方程组求解
直接解法
对于线性方程组可以利用左除运算符“\”求解:
x=A\b;
(1) 若A为n×n方阵,自动利用高斯消元法求解,若b
是n×1的列向量,则解x为n×1的列向量,若b是n×m的矩
阵,可得到m个以A为系数矩阵的线性方程组的数值解x
(n×m的矩阵),即x(:,j)=A\b(:,j),j=1,2,…,m.
(2) 当A不是方阵时, Ax=b称为欠定方程组或超定方程
组,MATLAB会在最小二乘意义下解
例6-1 用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';%右边常数项应该是列向量
x=A\b