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全称量词
存在量词
【选题明细表】
知识点、方法
题号
全称量词与存在量词
1
全称命题与特称命题
3,6,8
全称、特称命题的真假
2,5,9,10
全称、特称命题的应用
4,7,11,12,13
【基础巩固】
( B )
(A)任意一个 (B)至少有一个
(C)都是 (D)全部
2.(2019·烟台市高二期末)命题p:∀a∈R,3a≥2a;命题q:∃x0>0,使得x0-1+lnx0=0,则下列命题为真命题的是( B )
(A)p∧q (B)(﹁p)∧q
(C)p∨(﹁q) (D)(﹁p)∧﹁q)
解析:当a<0时,3a<2a,故命题p是假命题.
显然∃x0=1>0,使得x0-1+lnx0=0,
故命题q是真命题;
故(﹁p)∧q是真命题,故选B.
,是真命题且是全称命题的是( D )
(A)对任意实数a,b,都有a2+b2-2a-2b+2<0
(B)梯形的对角线不相等
(C)∃x∈R,x2=x
(D)对数函数在定义域上是单调函数
解析:A是全称命题,且a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故选项A是假命题;
B中隐含量词“所有的”,是全称命题,但只有等腰梯形的对角线相等,故选项B是假命题;
C是特称命题;.
“∀x∈(1,+∞),x2-(2+a)x+2+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是( B )
(A)(-∞,-2] (B)(-∞,2]
(C)[-2,2]∪(1,+∞) (D)(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:抛物线y=f(x)=x2-(2+a)x+2+a开口向上,
对称轴为x=2+a2,且Δ=[-(2+a)]2-4(2+a)=a2-4.
根据题意得Δ=a2-4≤0或Δ=a2-4>0,2+a2≤1,f(1)=1≥0,
解得-2≤a≤2或a<-2,
所以a≤.
5.(2019·临沂市重点中学高二期末)已知命题p:∀a∈R,且a>0,a+
1a≥2,命题q:∃x0∈R,sinx0+cosx0=3,则下列判断正确的是( C )
(A)p是假命题 (B)q是真命题
(C)p∧(﹁q)是真命题 (D)(﹁p)∧q是真命题
解析:对于命题p:∀a∈R,且a>0,有a+1a≥2,
显然p为真命题,故A错;
对于命题q:∃x0∈R,sinx0+cosx0=3,
sinx+cosx=2sin(x+π4)∈[-2,2]
而3∉[-2,2]
所以q是假命题,故B错;
所以利用复合命题的真假判定,
p∧(﹁q)是真命题,故C正确;
(﹁p)∧q是假命题,故D错误.
故选C.
:
①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.
其中全称命题是.
解析:①②④是全称命题,③是特称命题.
答案:①②④
7.(2019·衡水中学高二期中)若命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则实数m的取值范围是.
解析:因为命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,所以Δ≤0,即m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤[2,6].
答案:[2,6]
,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;
(2)存在一条直线,其斜率不存在;
(3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有惟一解;
(4)存在实数x0,使得1x02-x0+1=2.
解:(1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2α+cos2α=1”,是真命题.
(2)是特称命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真
命题.
(3)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有惟一解”,是假命题.
(4)是特称命题,用符号表示为“∃x0∈R,1x02-x0+1=2”,是假命题.
【能力提升】
9.(2019·济南市高二期末)给出下列3个命题:
命题p:若a2≥20,则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆.
命题q:∀m∈(-∞x+msinx=0总有实数解.
命题r:∃m∈(1,3),msinx+mcosx=32.
那么,下列命题为真命题的是( D )
(A)p∨r (B)p∧(﹁q)
(C)(﹁q)∧(﹁r) (D)(﹁p)∧q
解析:由方程x2+y2+ax+5=0化为(x+a2)2+y2=a24-5表示一个圆,则a24-5>0,a2>20,因此p是假命题.
由∀x∈x>0,-msinx∈[m,-m],可知:∀m∈(-∞x+msinx=0总有实数解,因此q是真命题.
若m∈(1,3),则msinx+mcosx=m2sin(x+π4)<32,因此r是假命题.
那么,.
( D )
(A)∃m∈R,使f(x)=(m-1)xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
(B)∀a>0,函数f(x)=(lnx)2+lnx-a有零点
(C)∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+sinβ
(D)∀∈R,函数f(x)=sin(2x+)都不是偶函数
解析:因为f(x)为幂函数,所以m-1=1,所以m=2,所以f(x)=x-1,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,故A中的命题为真命题;因为y=(lnx)2+
lnx的值域为[-14,+∞),所以∀a>0,方程(lnx)2+lnx-a=0有解,即函数f(x)有零点,故B中的命题为真命题;
当α=π6,β=2π时,cos(α+β)=cosα+sinβ成立,故C中的命题为真命题;
当=π2时,f(x)=sin(2x+π2)=cos2x为偶函数,故D中的命题为假命题.
(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,若f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.
解析:由函数的单调性得3≥a2-sinx≥a+1+cos2x对任意x∈R均
成立,
即a2≤3+sinx,a2-a≥sinx+cos2x+1对任意x∈R均成立,
然后转化为函数的最值问题,
a2≤(3+sinx)min,a2-a≥(sinx+cos2x+1)max,
即a2≤2,a2-a≥94,
解得-2≤a≤12-102.
答案:[-2,12-102]
12.(2019·洛阳市高二期中)设命题p:“∀x∈R,x2+2x>m”;命题q:“∃x0∈R,使x02+2mx0+2-m≤0”.如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,求实数m的取值范围.
解:当p为真时,∀x∈R,x2+2x>m,
有Δ=4+4m<0,解得m<-1,
当q为真时,∃x0∈R,使x02+2mx0+2-m≤0,
所以Δ=4m2-4(2-m)≥0,解得m≤-2,或m≥1,
又因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p,q一真一假,
当p真q假时,-2<m<-1,
当p假q真时,m≥1,
所以实数m的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞).
【探究创新】
(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:∃x0∈R,使f(x0)<0的充要条件是x02+bx0+c<0有解,
即b2-4c>0,4c<b2,
所以当c<0时一定有4c<b2,
即∃x0∈R,使f(x0)<0.
反之当∃x0∈R,使f(x0)<0时,只要4c<b2即可,不一定c<0.
故选A.