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学必求其心得,业必贵于专精
课时分层作业(七)
(建议用时:60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
­ABCD中的两个不同平面内,
1111
下列使a∥b成立的条件个数是()
①a和b垂直于正方体的同一个平面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
C[①②③一定能使a∥b成立,④不一定使a∥b成立,例如在
正方体ABCD。ABCD中,AA⊥AB,BC⊥AB,显然AA与BC不
111111
平行.]
()
⊥α⇒l与α相交
,nα,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α
-1-:.
学必求其心得,业必贵于专精
∥m,m∥n,l⊥α⇒n⊥α
⊥α,m⊥α⇒l∥m
B[B中若m∥n,不能得出l⊥α。]
,若PC⊥BD,则
平行四边形ABCD一定是()
D[
如图,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD,且PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC,∴AC⊥BD.]
,直线l平面α,m∩l=A,直线a⊥m,a
⊥l,直线b⊥m,b⊥l,则两直线a,b的位置关系是()
A[由题意知a⊥平面α,b⊥平面α,所以a∥b.]
,,侧棱长为,底面三角
111错误!
-2-:.
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形的边长为1,则BC与侧面ACCA所成的角的大小是()
111
°°
°°
A[取AC的中点D,连结DB,CD,则可证得∠BCD即为BC
111
与侧面ACCA所成的角,在△ABC中,易得BD=。
11错误!
在△DCC中,易得DC=,
11错误!
在Rt△BCD中,tan∠BCD==,
11错误!错误!
即∠BCD=30°.]
1
二、填空题
△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,
则P到BC的距离是__________.
45[
-3-:.
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如图所示,作PD⊥BC于D,连结AD。
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,且PA∩PD=P,
∴BC⊥平面PAD,∴AD⊥BC。
在△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4,
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,∴PD==4。]
错误!错误!
7。如图,直三棱柱ABC。ABC中,∠ABC=90°,M为线段
111
BB上的一动点,则直线AM与直线BC的位置关系为__________.
1
垂直[∵AA⊥平面ABC,∴BC⊥AA,
11
∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB,又AB∩AA=A,
1
∴BC⊥平面AABB,又AM平面AABB,
1111
∴AM⊥BC。]
,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面
ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于
________.
-4-:.
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2[∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥QD.
又∵PQ⊥QD,且PA∩PQ=P,
∴QD⊥平面PAQ,
∴AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,
点Q只有一个,故BC=2AB=2。]
三、解答题
9。如图,在四棱锥P。ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,
DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)证明:AC⊥平面PBD。
[证明](1)设AC∩BD=H,连结EH。
在△ADC中,
因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点.
又由题设,E为PC的中点,
-5-:.
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故EH∥PA,
又EH平面BDE,
且PA平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD,
AC平面ABCD,
所以PD⊥AC.
由(1)可得,DB⊥AC,又PD∩DB=D,
故AC⊥平面PBD。
,已知矩形ABCD,SA⊥平面AC,AE⊥SB于点E,
EF⊥SC于点F.
(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥SD。
[证明](1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,
-6-:.
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∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC.
又AB∩SA=A,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.
又SB⊥AE,SB∩BC=B,
∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC。
又EF⊥SC,EF∩AE=E,
∴SC⊥平面AEF.
又AF平面AEF,∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC.
又AD⊥DC,SA∩AD=A,
∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG。
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,
∴SC⊥AG,
又SC∩DC=C,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.
[等级过关练]
:
①三角形的两边;②梯形的两边;
③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
-7-:.
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能判定直线与此平面垂直的有()
A.①②B.①③
C.②④D.③④
B[由线面垂直的判定定理可知①③能判定,而②中线面可能
平行、相交、还可能线在平面内,④中由于正六边形的两边不一定
相交,所以也无法判定线面垂直.]
∩平面β=l,EA⊥α于A,EB⊥β于B,aα,a
⊥AB,则直线a与l的位置关系是()
A[
由EA⊥α,
EB⊥β知l⊥EA,l⊥EB,
从而l⊥平面EAB,
而a⊥AB,a⊥EA,
∴a⊥平面EAB,∴l∥a。]
-8-:.
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,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,
使得MN⊥AC的一个条件为__________.
AC⊥BC[
取AC中点Q,连结MQ,NQ,
则MQ∥AP,NQ∥BC,
由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,
则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,
所以AC⊥MN。]
,,PA⊥底面ABCD,底面是边长为
2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成
角的正切值为________.
[
错误!
-9-:.
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作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,可知点A在平面PBC上
的射影在直线PE上,故∠=ABsin45°=,
错误!
∴tan∠APE==.]
错误!错误!
,在四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)证明:PD⊥平面ABE。
[证明](1)在四棱锥P。ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,故PA⊥CD。
又∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.
而AE平面PAC,∴CD⊥AE。
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA。
又∵E是PC的中点,∴AE⊥PC。
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,
-10-:.
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∴AE⊥平面PCD。而PD平面PCD,∴AE⊥PD。
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB。
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD。
又∵PD平面PAD,∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
-11-