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一元一次方程应用题的解法
一、直列法。即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼,直接列
出相关的方程。
例1在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,
使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人?
分析:显然,人员调动完成后,甲处人数=2×乙处人数。
解:设调x人到甲处,则调(20-x)人到乙处,由题意得:
27+x=2(19+20-x),
解之得x=17
∴20-x=20-17=3(人)
答:应调往甲处17人,乙处3人。
二、公式法。学生熟识的公式诸如“路程=速度×时间”、“工作总量=工作效
率×工作时间”、“利润=售价-进价”、“利润率=利润/进价”等都是解答相关方程
应用题的工具。
例2商品进价1800元,原价2250元,要求以利润率不低于5%的售价打折
出售,则此商品最低可打几折出售?
分析:根据利润率公式,列出方程即可。
解:设最低可打x折。据题意有:
5%=(2250x-1800)/1800,
解之得x=
答:。
三、总分法。即根据总量等于各分量之和来列出方程,用此法要注意分量不
可有所遗漏。
例3“过路的人!这儿埋葬着丢番图。请计算下列题目,便可知他一生经过
了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年,十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程,他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生,不料儿子竟先
其父四年而终,只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜,悲痛之中度过了:.
风烛残年。请你算一算,丢番图活到多大,才和死神见面?”
分析:本题即是著名的丢番图的“墓志铭”,题中巧妙地把丢番图的总年龄划
分为了几个部分,解题时只需运用其总年龄=各部分年龄的和即可得出解答。
解:设丢番图活了x年。据题意可得:
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解之得x=84
答:丢番图共活了84岁。
由此题的解答,我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚,38岁
得子,80岁死了儿子,儿子活了42岁等。
四、同一法。这类题目的解题原理是:如果同一个量能用两个不同的代数式
表达,则这两个代数式必然相等。
例4一队学生从学校出发去部队军训,行进速度是5千米/时,
米时,一名通讯员按原路返回学校报信,然后他随即追赶队伍,通讯员的速度是
14千米/时,他在距离部队6千米处追上队伍,问学校到部队的距离是多少?(报
信时间忽略不计)
分析:该题的解答关键在于,通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍
(同一段时间)。
解:设学校到部队的距离是x千米。据题意得:
(x--6)/5=(x+-6)/14,
解之得:x=
答:。
当然,以上四种方法不是孤立使用的,如例4的解答必然要用到公式:“路程
=速度×时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的,如例1的解答也可以用
总分法:
解:设人员分配后乙处人数为x人,甲处为2x人。分配后的总人数为27+19+20
=66人,据题意有:
x+2x=27+19+20,
解之得x=22,
∴2x=44,故44-27=17(人),22-19=39(人):.
答:应调往甲处17人,乙处3人。
可见,方程应用题方法论的训练,不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按
图索骥”,而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义,使一题多
解成为可能。
分式方程应用题
1)有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期完成,若乙队单独做要超过
规定日期3天完成;现在先由甲、乙两队合做2天后,剩下的工程再由乙队单独
做,也刚好在规定日期完成,问规定日期多少天?
(2)为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此
,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要
超过6个月才能完成,现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施
工,?
(3)某人生产一种零件,计划在30天内完成,若每天多生产6个,则25天完成且还
多生产10个,问原计划每天生产多少个零件?
(4)在社会主义新农村建设中,
程由甲工程队单独做需要40天完成;如果由乙工程队先单独做10天,•那么剩下
的工程还需要两队合做20天才能完成.
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数;
(2)求两队合做完成这项工程所需的天数.
(5)怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召,在本乡
建起了农民文化活动室,、•乙两个装修公司合做需8天完成,
需工钱8000元;若甲公司单独做6天后,剩下的由乙公司来做,还需12天完成,
,该乡是选
甲公司还是选乙公司?请你说明理由.
(6)一项工程,甲单独做x小时完成,乙单独做y小时完成,则两人一起完成
这项工程需要___小时。
(7)某农场开挖一条480米的渠道,开工后,每天比原计划多挖20米,结果提
前4天完成任务,求原计划每天挖多少米?:.
(8)为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此
项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要
超过6个月才能完成,现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施
工,则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间?
(9)某工人师傅先后两次加工零件各1500个,当第二次加工时,他革新了工具,
改进了操作方法,
,求他第二次加工时每小时加工多少零件?
(10)甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天,再由两队合作2
天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、乙两队单独完
成此项工程各需多少天?
应用题归纳
(1)列方程解应用题的步骤
①弄清题意,找出未知数并用x表示;
②找出应用题中数量间的相等关系,列方程;
③解方程;
④检查,写出答案。
(2)列方程解应用题的关键
弄清题意后,找出应用题中数量间的相等关系,恰当地设未知数,列出方程。
(3)运用一般的数量关系列方程解应用题
①列方程解加、减法应用题。如:
甲乙两人年龄的和为29岁,已知甲比乙小3岁,甲、乙两人各多少岁?
数量间的等量关系:
甲的年龄+乙的年龄=甲乙二人的年龄和
解:设甲的年龄是x岁,则乙的年龄为:(x+3)岁。
x+(x+3)=29
x+x+3=29
2x=29-3:.
x=262
x=13……甲的年龄
13+3=16(岁)……乙的年龄
答:甲的年龄是13岁,乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。如:
学校图书馆买来故事书240本,相当于科技书的3倍,买来科技书多少本?
科技书的本数3=故事书的本数
解:设买来科技书x本
3x=240
x=80
答:买来科技书80本。
(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系,列方程解应用
题
①一长方形的周长是240米,,求长方形的面积。
(长+宽)2=周长
解:设宽是x米,则长是()米。
(+x)2=240
=2402
x=
x=50……长方形的宽
=70(米)……长方形的长
7050=3500(平方米)
答:长方形的面积是3500平方米。
②三角形ABC中,角A是角B的2倍,角A与角B的和比角C小18°。求三个
角的度数。这是一个什么三角形?
角A+角B+角C=180度
解:设角B是x度,
则角A是(2x)度,角C是[(2x+x)+18]度。
2x+x+[(2x+x)+18]=180
6x+18=180:.
6x=180-18
x=1626
x=27……角B的度数
272=54(度)……角A的度数
54+27+18=99(度)……角C的度数
答:角A是54度,角B是27度,角C是99度。
因为:角B<角A<角C,90°<角C<180°,所以这个三角形是钝角三角形。
③一个两位数,十位数字与个位数字的和是6。若以原数减去7,十位数与个位
数字相同,求原数。
十位上的数字个位上的数字
解:设原数的个位数字为x。则原数十位上的数字为:6-x;若从原数中减去7,
则个位上的数字变为:10+x-7、十位上的数字变为:6-x-1。
6-x-1=10+x-7
5-x=3+x
2x=2
x=1……原数的个位数字
6-1=5……原数的十位上的数
因此,原数是:51。
、三步计算的应用题
广水电影院原有座位32排,平均每排坐38人;扩建后增加到40排,可比原来多
坐584人。扩建后平均每排可以坐多少人?
解:设扩建后平均每排坐x人。
x40-3832=584
40x-1216=584
40x=584+1216
x=180040
x=45
答:扩建后平均每排可以坐45人。
:.
某班学生合买一种纪念品,每人出1元,多4元6角;每人出9角,就差5角。求这
件纪念品多少钱?这个班共有多少名学生?
解:设这个班共有x名学生
x-=910x+510
x-=+
=
x=51……这个班学生人数
51-=(元)……纪念品的单价
答:;这个班共有学生51名。
用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别,它们之间的主要区别在于思路
不同。
用方程解应用题,要设未知数x,并且把未知数x与已知数放在一起,分析应用
题所叙述的数量关系,再根据数量关系和方程的意义,列出方程式。
用算术法解应用题,要把已知数集中起来,加以分析,找出已知数与未知数之间
的联系,列出算式表示未知数。例如:
小华身高160厘米,比小兰高15厘米。小兰的身高是多少厘米?
用方程解:
解:设小兰的身高x厘米
160-x=15
x=160-15
x=145
或:x+15=160
x=160-15
x=145
用算术法解:
160-15=145
通过比较,同学们可以看出,这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式
之中。列算术式,是根据题中的条件,由已知推出未知,用已知数之间的关系来:.
表示未知数。未知数是运算的结果,已知与未知数用等号隔开。列方程式,是根
据题目叙述的顺序,未知数参加列式,未知数与已知数用运算符号相连接,从整
体上反映数量关系的各个方面,所以,解题方式灵活多样,适用面广,用来解答
那些反叙的问题更显得方便。
【典型范例剖析】
例1甲乙两桶油,甲桶里有油45千克,乙桶里有油24千克,问从甲桶里倒多少
千克的油到乙桶里,?
分析:根据变动以后“”,可以列出等量关系式:
=现在甲桶里油的重量
设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里,那么,现在甲桶里的油是(45-x)千克,现在
乙桶里的油是(24+x)千克。
解:设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。
(24+x)=45-x
36+=45-x
36++x=45
36+=45
x=(45-36)
x=
答:,才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。
例2一位三位数,个位上的数字是5,如果把个位上的数字移到百位上,原百位
上的数字移到十位上,原十位上的数字移到个位上,那么所成的新数比原数小
108,原数是多少?
分析:原三位数中只知道个位数字,百位和十位上的数字都不知道。如果设原三
位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x,则原三位数可表示为“10x+5”,
那么新数就可以表示为“5100+x”。
解:设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x,可得方程:
10x+5=5100+x+108
10x-x=500+108-5
9x=603
x=67:.
1067+5=675……原三位数
答:原三位数是675。
例3某校附小举行了两次数学竞赛,第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4
人,第二次及格人数增加5人,正好是不及格人数的6倍,问参加竞赛的有多少
人?
分析:本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数,而第二次的参赛人数
与第一次参赛人数有直接关系的条件,总人数又不变。所以我们设第一次参赛的
不及格人数为x人,那么第一次参赛及格的人数可以用“(3x+4)”人来表示,总数
是(4x+4)人,第二次参赛及格的人数是(3x+4+5)人,不及格的人数是(x-5)人,根
据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”,这一等量关系,可列方程。
解:设第一次参赛不及格的人数为x,依据题意可得方程:
3x+4+5=(x-5)6
3x+9=6x-30
3x=39
x=13
则4x+4=134+4=56……参加竞赛的人数
答:参加竞赛的有56人。
【易错题解举例】
例1吉阳村有粮食作物84公顷,比经济作物的4倍多2公顷,经济作物有多少公
顷?
错误:设经济作物有x公顷
x=(84-2)÷4
x=82÷4
x=
答:。
分析:这题列出的式子是一个算术式,不是方程。错误在于没有弄清方程和算术
式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的,用来表示未知数,如本题的
“x=(84-2)÷4”;而在方程里,未知数则是参加运算的,本题中的“x”则没有参加
运算。:.
改正:设经济作物有x公顷
4x+2=84(或4x=84-2)
4x=82
x=
答:。
例2食堂运来一批煤,原计划每天烧210千克,可以烧24天。改进炉灶后这批煤
可烧28天。问:改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克?
错误:设每天比原计划节约x千克
28x=21024
x=180
210-180=30(千克)
答:改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
分析:题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。题目中的方程式的
“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”,并不表示“节约”的数。本题可以
采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。
改正:(1)间接设未知数
解:设改进炉灶后每天烧煤x千克,则每天比原计划节约(210-x)千克。
28x=21024
28x=5040
x=180
210-x=210-180=30
(2)直接设未知数
解:设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。
(210-x)28=21024
210-x=180
x=210-180
x=30
答:改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
例3王兰有64张画片,雷江又送给她12张,这时王兰和雷江的画片数相等。雷:.
江原有画片多少张?(用方程解)
错误:设雷江原有画片x张
x-12=64
x=76
分析:雷江送12张画片给王兰后,两人的画片数才相等。也就是说,雷江减少
12张,王兰增加12张之后,他们的画片数才同样多。此解法把等量关系弄错了,
误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等。
改正:设雷江原有画片x张。
x-12=64+12
x=76+12
x=88
答:雷江原有画片88张。
【解题技巧指点】
,往往列出来的是一个算术式,误以为是方程。如:广水
市吉阳村有粮食作物84公顷,比经济作物的4倍多2公顷,经济作物有多少公顷?
解:设经济作物有x公顷
x=(84-2)4
x=824
x=
答:。
本题中的“x=(84-2)4”是一个算术式。出现上述错误,原因在于没有弄清方程式
和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的,用来表示未知数;而在
方程里,未知数则是参加运算的。本题的方程应该列为:
4x+2=84或4x=84-2或84-4x=2
,恰当地设未知数。如:第一教工食堂运来一批煤,原计划每天烧
煤210千克,可烧24天,改进炉灶后这批煤可烧28天。问:改进炉灶后平均每天
比原计划节约多少千克?
设未知数时一般有两种方法:一种是直接设未知数为x,题目中问什么,就设什
么为x;另一种是间接设未知数为x,再通过这个量与所求问题的关系,求出应:.
用题中要求的未知量。
如果按直接设未知数为x的方法解答,那么本题中所列方程应该是:
解:设每天比原计划节约x千克煤
(210-x)28=21024
210-x=180
x=210-180
x=30
如果采用间接设未知数x的方法:
解:设改进炉灶后每天烧煤x千克,则每天比原计划节约(210-x)千克。
28x=21024
x=180
210-180=30(千克)
答:每天比原计划节约30千克。
解一元一次方程应用题的方法《一》
一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:
1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加
法不易出错;
2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表
示其余量利于计算;
3,在分数应用题中,我们设单位'1'为X,
4,在有比的问题中,我们设一份数为X,
5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.
解应用题的基本步骤有:
1,依据题目要求设出合适的未知数;
2,根据题目实际情况找出等量关系,用文字关系式表示出来;
3,依据等量关系,把关系式中的每一项用数或者未知数表示出来列出方程;
4,解方程,依据题目问题计算;:.
5,把方程的解代入原题目检验.
其中的难点是第二步,找出等量关系,有些题目中的关系是比较明显的,而有的则
是隐含的,需要大家去用心体会,下面我给大家示例两题:
1:爷爷与孙子下棋,爷爷赢一盘记1分,孙子赢一盘记3分,两人下了12盘(未
出现和棋)后,得分相同,他们各赢了多少盘?
分析:属于和的问题,所以任意设一个为X,设爷爷赢了X题,则孙子赢了(12-X)盘,
题目中的等量关系是爷爷得分=孙子得分,爷爷得分用X表示,孙子得分用3(12-X)
表示,所以本题方程为X=3(12-X),解之得X=9,则12-X=12-9=3,所以爷爷赢9盘,
孙子赢3盘.
2:在一只底面直径为30cm,高为8cm,的圆锥形容器中倒满水,然后将水倒入
一只底面直径为10cm的圆柱形空容器里,圆柱形容器中的水有多高?
分析:本题没有明显类型所以直接设问题,设圆柱形容器中的水有X厘米,题目中
的等量关系是隐含的,是圆锥形容器中的水的体积=圆柱形容器中水的体积,分别
表示后有方程
1/3**(30/2)(30/2)*8=(10/2)(10/2)X,解之得X=24.