优化设计练习题.pdf

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要求根据目标函数和约束函数采用适合的MATLAB优化函数求
解优化问题,即线性规划问题、无约束非线性规划、约束非线性规划
问题、二次规划问题。
1—2
x2x4
12

2x3x12
1、minf4xxst12

12xx3
12
x,x0

12
2、minfxxxst:0x2x2x72
123123
答案:x[24,12,12]f103
3、minf(x2)2(x1)2st:x2x20
1212
答案:x[,]f
4x2x0
12
4、minf(x3)2x2stx0
122

x0
1
答案:x[2,0]f1
5、求函数f(x,x)3x42xx(15x)2的极小点。
121122
答案:x[,]f
6、求表面积为150m2的体积最大的长方体体积。
minfxxx2(xxxxxx)150
123122313
x[5,5,5]f125
7、某车间生产甲(如轴)、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9㎏,3个工时、4kw
电,可获利60元;生产乙种产品每件需要用材料4㎏、10个工时,5kw电,可获利120元。若每天能供
应材料360㎏,有300个工时,能供电200kw电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大
的利润。

minF(x)=-60x-120x
12

(x)=-360+9x+4x≤0
112

g(x)=-300+3x+10x≤0
212
1:.

g(x)=-200+4x+5x≤0
312

g(x)=-x≤0
41

g(x)=-x≤0
52
答案:x[20,24]f103
8、已知:轴一端作用载荷p=1000N/cm,扭矩M=100N·m;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力[σ
w]=120MPa,许用扭剪应力[τ]=80MPa,许用挠度[f]=;密度[ρ]=,弹性模量E=2×
105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。
设计限制条件有5个:
弯曲强度:σ≤[σ]
maxw
扭转强度:τ≤[τ]
刚度:f≤[f]
结构尺寸:l≥8
d≥0
设计参数中的未定变量:d、l
具体化:目标函数Q=1/4πd2lρ→min.
约束函数σmax=Pl/()≤[σw]
τ=M/()≤[τ]
f=Pl3/(3EJ)≤[f]
l≥8
d≥0
代入数据整理得数学模型:
设:X=[x,x]T=[d,l]T
12
(x)=x2xX∈R2
12
(x)=-x3≤0
121
g(x)=-x3≤0
21
g(x)=-x4≤0
321
g(x)=8-x≤0
42
g(x)=-x≤0
51
根据数学模型:
设:X=[x,x]T=[d,l]T
12
(x)=x2xX∈R2
12
3-4
2:.
x2x3x15
123
1、minfxxxst2xx5x20
123123

x,x0
12
答案:x[,,]f
xx2
12

x2x2
2、minfx2xx2x6xst12
1212122xx3
12
x,x0

12
答案:x[,]f
xxxx0
3、minfex(4x22x24xx2x1)st1212
1
12122xx100

12
答案:x[,]f
4、计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。
x3coxsxlogx
f(x)
ex
答案:x
5、某厂生产甲、乙两种产品,已知制成一吨产品甲需用A资源3吨,B资源4m3;制成一吨产品乙需用
A资源2吨,B资源6m3,C资源7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元,三种
资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价
值最高?
解:这是个最优化问题,其目标为经济价值最高,约束条件为三种资源的数量有限,决策为生产甲、乙产
品的数量。令生产产品甲的数量为x1,生产产品乙的数量为x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。
目标函数为:
maxz7x5x
12
约束条件为:
3x2x90
12

4x6x200
12

7x210
2
x0,x0

12
答案:x[,]f218
6、已知:制造一体积为100m3,长度不小于5m,不带上盖的箱盒,试确定箱盒的长x1,宽x2,高x3,
使箱盒用料最省。
3:.
min:(xx2xx2xx)
121323
xxx100
123
x5
st:1
x0
2
x0
3
答案:x[,,]f
7、机床主轴是机床中重要零件之一,一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分
析,常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑,即主轴的自重和
伸出端C点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标,对该主轴进行优化设
计。已知条件:主轴材料为45#,内径d=30mm,外力F=15000N,许用挠度y0=,材料的弹性模量
E=210GPa,许用应力[σ]=180MPa,材料的密度为7800kg/m3。300≤l≤650,60≤D≤110,
90≤a≤150。l、D、a的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。
Fa2la

其中,C点的挠度:y;ID4d4。
3EI64
解:分析题意,选取设计变量
X[x,x,x]T[l,D,a]T
123
一、优化目标函数

F(X)(D2d2)(la)(x2d2)(xx)
44213
二、约束条件:
1)挠度要求
Fa2(la)
yy
3EI064Fx2(xx)
313y
3E(x4d4)0
I(D4d4)
2
64
4:.
2)强度要求

M
W(D3d3)
max[]
max32
W
32Fa32Fx
[]3[]
(D3d3)(x3d3)
2
3)变量取值范围
300≤x1≤650,60≤x2≤110,90≤x3≤150
三、将物理模型转化为数学模型

F(X)(D2d2)(la)(x2d2)(xx)
44213
64Fx2(xx)x
s..tg(X)313/y10g(X)120
13E(x4d4)0560
2
32Fxx
g(X)3/[]10g(X)210
2(x3d3)6110
2
xx
g(X)110g(X)130
3790
300
xx
g(X)110g(X)310
48150
650
答案:x[300,,]f
5-6
2xx4
12
1、minf3x22x24xx3x4xstx2x4
12121212

x,x0
12
答案:x[,]f
5:.
xx0
12

xxxx
2、minex(4x22x24xx2x1)
1
12122xx10
12
10x,x10

12
答案:x[,]f
3、minfxxxst:2(xxxxxx)150
123231312
答案:x[5,50,5]f125
4、求函数f(x)xx2x2x22xx的极小值。
121212
答案:x[,]f
x2x3x15
123

2xx5x20
5、minfxxxst123

123x4x2x10
123
x,x0

12
答案:x[,,]f
6、有一块边长为6m的正方形铝板,四角截去相等的边长为x的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何
截法(x取何值)才能获得最大容器的箱子。
7、任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别
为800和900,三种工件的数量分别为400、600和500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所
需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使加工费用
最低?
答案:1、问题分析
车床单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用可用台
类型工件1工件2工件3工件1工件2工件3时数


2、设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x、x、x,在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为
123
x、x、x。可建立以下线性规划模型:
456
minz13x9x10x11x12x8x
123456
6:.
xx400
14

xx600
25
xx500


x800
123
900
456
x0,i1,2,,6

i
编写M文件如下:
f=[1391011128];
A=[
];
b=[800;900];
Aeq=[100100
010010
001001];
beq=[400600500];
vlb=zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果:
x=[,,,,,]
fval=+004
即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3,可在满足条件的情况
下使总加工费最小为13800。
8、已知:轴的一端作用载荷P=1000N,扭矩M=100N·m;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力[σ
w]=120MPa,许用扭剪应力[τ]=80MPa,许用挠度[f]=;密度[ρ]=,弹性模量E=2×
105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。
分析:设计目标是轴的质量最轻Q=1/4πd2lρ→min.;
设计限制条件有5个:
弯曲强度:σ≤[σ]
maxw
扭转强度:τ≤[τ]
刚度:f≤[f]
结构尺寸:l≥8
d≥0
7:.
设计参数中的未定变量:d、l
具体化:目标函数Q=1/4πd2lρ→min.
约束函数σ=Pl/()≤[σ]
maxw
τ=M/()≤[τ]
f=Pl3/(3EJ)≤[f]
l≥8
d≥0
代入数据整理得数学模型:
设:X=[x,x]T=[d,l]T
12
(x)=x2xX∈R2
12
(x)=-x3≤0
121
g(x)=-x3≤0
21
g(x)=-x4≤0
321
g(x)=8-x≤0
42
g(x)=-x≤0
51
7-8
2xx2
12
1、minfx22x24xxxxstx2x2
12121212

x,x0
12
答案:x[,]f
2xxx2
123

2xx5x6
2、maxfx2xxs..t123
1234xxx6
123
x0,i1,2,3,4,5,6

i
答案:x[0,4,2]f10
3、minf(xx)2(xx)2(xx)2
142536
8:.
x2x2x25
123

(x3)2x21
st45
x8
6
4x0

4
答案:x[1,0,2,2,0,4]f5
4、minf(x2x2/3)st:0xx10
1212
答案:x[,]f
5、求函数f(x,x)3x42xx(15x)2的极小点。
121122
答案:x[,]f
6、某工厂有一张边长为5m的正方形的铁板,欲制成一个方形无盖水槽,问在该铁板的4个角处剪去多大
的相等的正方形才能使水槽的容积最大?
答案:min:fx(5x22)0
111
x[]f
7、某车间生产甲(如轴)、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9㎏,3个工时、4kw
电,可获利60元;生产乙种产品每件需要用材料4㎏、10个工时,5kw电,可获利120元。若每天能供
应材料360㎏,有300个工时,能供电200kw电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大
的利润。
minf=-60x-120x
12
-360+9x+4x≤0
12
-300+3x+10x≤0
12
-200+4x+5x≤0
12
-x≤0
1
-x≤0
2
x[,]f
8、已知:轴上作用均布载荷q=100N/cm,扭矩M=100N·m;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力[σ
w]=120MPa,许用扭剪应力[τ]=80MPa,许用挠度[f]=;密度[ρ]=,弹性模量E=2×
105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。
9:.
设计限制条件有5个:
弯曲强度:σ≤[σ]
maxw
扭转强度:τ≤[τ]
刚度:f≤[f]
结构尺寸:l≥8
d≥0
设计参数中的未定变量:d、l
具体化:目标函数Q=1/4πd2lρ→min.
约束函数σmax=Pl/()≤[σw]
τ=M/()≤[τ]

Id4
f=ql4/(8EJ)≤[f]注:
64
l≥8
d≥0
9-10
xx2
1、minfx2x2xx3xst12

12121x,x0

12
答案:x[,]f
xxxx
1212

2、minfex1(4x22x24xx2x1)stxx10
1212212
2
xx1
12
答案:x[,]f
lnx0
3、minf(x)xxst1
21xx1

12
答案:x[1,104]f
4、求函数f(x,x)x22x22xx4xx的极小点。
12121212
答案:x[,]f
10:.
5、已知某汽车行驶速度x与每公里耗油量的函数关系为f(x)=x+20/x,
~1公里时的经济速度x*。
答案:x[]f
6、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为10mm的金属球体。
4
minx22xxstx2x1030
答案:112123
x[,]f103
7、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲20元/斤,喜糖乙10元/斤。要求花钱不超过200元,总斤
数不少于10斤,甲糖不少于5斤。问:(1)购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱最
少?(2)购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多?
设购买甲糖x斤,乙糖x斤。
12
可以列出如下数学模型:
minf(x)20x10x,xR2
112
maxf(x)xx,xR2
212
10x200
12
xx10
12
x5
1
(1)最优解为:x=[55],minf(x)150元。(2)最优解为:x=[510],maxf(x)15斤。
12
8、由两根实心圆杆组成对称的两杆桁架,其顶点承受负载2p=500000N,两支座之间的水平距离2L=160cm,
杆的密度ρ=7800kg/m3,弹性模量为E=×105MPa,许用压应力σy=420MPa。求在桁架压应力不超过
许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆直径d。
答案:
解:桁杆的截面积为:Sd2
桁杆的总重量为:Wd2L2h2
ppL2h2
p
1cosh
负载2p在每个杆上的分力为:
11:.
pL2h2
于是杆截面的应力为:1
d2h
pL2h2

dhB
此应力要求小于材料的屈服极限,即:
2EI
p
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知:压杆稳定的临界力为cr2,
l
2EId23Ed443Ed2
则临界应力为/
cr
crl2464l2h2d216l2h2
3Ed2pl2h2
由此得稳定约束:0
16l2d2h
另外还要考虑到设计变量d和h有界。
从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型:
d2l2h2

pl2h2
.0
2


pL2h23Ed2
0
d2h16l2h2

dd0dd0
minmax
hh0hh0

minmax
11-12
xxx4
1、minfx22x2x22xxxst123

1231232xxx2

123
答案:x[,,]f
2、minf(x)x2x22x1st3x0
1212
答案:x[1,3]f9
3、minf(X)(x2)2x2
12
s..tg(X)x0
11
g(X)x0
22
g(X)x2x210
312
答案:x[1,0]f1
xxxx0
4、minfex(4x22x24xx2x1)st1212
1
12122xx100

12
12:.
答案:x[,]f
5、maxf(x)220x250x
12
s..txx+x1200
123
2xx+x1800
124
xx=800
15
x+x=1000
26
答案:x[200,1000]
5、maxf(x)220x250x
12
s..txx+x1200
123
2xx+x1800
124
xx=800
15
x+x=1000
26
答案:x[200,1000]
6、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲10元/斤,喜糖乙20元/斤。要求花钱不超过300元,总斤
数不少于15斤,乙糖不少于10斤。问:(1)购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱
最少?(2)购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多?
设购买甲糖x斤,乙糖x斤。
12
可以列出如下数学模型:
minf(x)10x20x,xR2
112
maxf(x)xx,xR2
212
s..t10x20x300
12
xx15
12
x5
2
(1)最优解为:x=[55],minf(x)150元。(2)最优解为:x=[510],maxf(x)15斤。
12
7、一根长L的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使
圆和方形的面积之和为最大?
x21x2

答案:min:f11st:0x1x[]f

241
8、由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架,其顶点承受负载2p=300000N,两支座之间的水平距离2L=152cm,
圆杆的壁厚B=,杆的密度ρ=7800kg/m3,弹性模量为E=×105MPa,许用压应力σy=420MPa。
求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直
径d。
13:.
1522F4FB
解:h*Bcm76cm,B*,m*
2T
yy
答案:x[h,d][76cm,]f
13-14
1、求函数f(x,x)x(x2x5)x(3x7)的极小值
1211222
答案:x[,]f
2、maxf(X)2xx2x
123
s..txx2x5
123
x3xx3
123
x,x,x0
123
答案:x[,,]f
3、minf(x)(x5)24(x6)2
12
s..tg(x)64x2x20
112
g(x)xx100
221
g(x)x100
31
答案:x[,]f
4、minf(x)(x1)2(x2)21
12
s..tg(x)2xx1
112
g(x)xx2
212
g(x)x0
31
g(x)x0
42
14:.
答案:x[,]f
5、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为10mm的金属球体。
答案:
4
minx22xxstx2x1030x[,]f103
112123
6、某工厂要生产两种规格的电冰箱,分别用Ⅰ和Ⅱ表示。生产电冰箱需要两种原材料A和B,另外需设备
C。生产两种电冰箱所需原材料、设备台时、资源供给量及两种产品可获得的利润如表1-1所示。问工厂
应分别生产Ⅰ、Ⅱ型电冰箱多台,才能使工厂获利最多?

资源ⅠⅡ资源限制
设备111200台时
原料A211800千克
原料B011000千克
单位产品获利220元250元求最大收益
产品Ⅰ用原料限制800千克
解:设生产Ⅰ、Ⅱ两种产品的数量分别为x,x。则可获得的最大收益为
12
maxf(x)220x250x,xR2
12
s..txx1200
12
2xx1800
12
x800
1
x1000
2
x,x0
12
Matlab求解程序如下:
%li_1_2
clc;
closeall;
f=-[220250];
A=[11;21;10;01];
b=[1200;1800;800;1000];
xl=[00];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],xl)
x1=[0:1800];
x2=[0:2000];
7、已知:轴一端作用载荷p=1000N/cm,扭矩M=100N·m;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力[σ
w]=120MPa,许用扭剪应力[τ]=80MPa,许用挠度[f]=;密度[ρ]=,弹性模量E=2×
105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。
15:.
设计限制条件有5个:
弯曲强度:σ≤[σ]
maxw
扭转强度:τ≤[τ]
刚度:f≤[f]
结构尺寸:l≥8
d≥0
设计参数中的未定变量:d、l
具体化:目标函数Q=1/4πd2lρ→min.
约束函数σmax=Pl/()≤[σw]
τ=M/()≤[τ]
f=Pl3/(3EJ)≤[f]
l≥8
d≥0
代入数据整理得数学模型:
设:X=[x,x]T=[d,l]T
12
(x)=x2xX∈R2
12
(x)=-x3≤0
121
g(x)=-x3≤0
21
g(x)=-x4≤0
321
g(x)=8-x≤0
42
g(x)=-