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从理论研究到工程实际
LTI系统
计算机可以
处理的
数据形式
离散
有限
:存储、运算离散
:存储空间、运算速度有限
时域对离散化后的序列截断或加窗
频域对离散信号的频谱(周期)加窗即只取用一个周期
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从理论研究到工程实际
已有的理论基础
时频域均离散
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从离散傅里叶级数DFS到离散傅里叶变换
DFS变换对为:
由于
对k和n都是以N为周期的,所以当
也是以N为周期时。
其本身时,可以利用DFS的周期性,只需要在时域和频域各取一个周期,计算一个周期,将所得结果进行周期延拓,即可以得到它们。
是以N为周期时,则
和
是无限长的,但在计算序列的频谱和
虽然
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由于在DFS中,只用到一个周期的N个值,取它们的主值序列:x(n)(0≤n≤N-1)和X(k)(0≤k≤N-1),等式依然成立,这就是离散傅里叶变换,即
k=0,1,…,N-1
n=0,1,…,N-1
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k=0,1,…,N-1
DFT并不是一个新的傅里叶变换形式,只不过是将DFS变换对中的序列取主值,就得到了DFT,将DFT进行周期延拓就得到DFS,因此DFT隐含周期性。
DFT与DFS的关系:
有限长序列x(n)是非周期的,其频谱应该是连续的,但用DFT得到的x(n)的频谱是离散频谱,这是由于将有限长序列x(n)延拓成周期序列而造成的。
n=0,1,…,N-1
(DFT)与离散傅里叶级数(DFS)的关系
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设x(n)是一个长度为N的有限长序列,则x(n)的离散时间傅里叶变换为
将Ω离散化,在0~2π上从0开始等间隔地取N个点,即
即可得到离散傅里叶变换DFT。
对X(Ω)进行均匀采样,
X(k)是序列的傅立叶变换X(Ω)的在区间[0,2π]
上的N点等间隔采样,采样间隔为:ΩN=2π/N。
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为求DFT的反变换,将DFT两边乘以
下面证明IDFT的唯一性
并对k从0到N-1求和,得
上式右边=Nx(n)
n=0,1,…,N-1
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比较z变换与DFT变换,可见当
设序列x(n)的长度为N,其z变换和DFT分别为:
时,则有
X(k)也是z变换在单位圆上的N点等间隔采样值,采样间隔
为:
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