指数函数、对数函数、幂函数图像与性质.pdf

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(一)指数与指数函数

(1)根式的概念
根式的概念符号表示备注
如果xna,那么x叫做a的n次方根n1且nN
当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次零的n次方根是零
na
方根是一个负数
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根
na(a0)
(2).两个重要公式
an为奇数

①nana(a0);
|a|n为偶数
a(a0)
②(na)na(注意a必须使na有意义)。

(1)幂的有关概念
m
①正数的正分数指数幂:annam(a0,m、nN,且n1)。
m
11
②正数的负分数指数幂:an(a0,m、nN,且n1)
mnam
an
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q)。
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q)。
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q)。.

1/9
y=axa>10<a<1
图象
定义域R
值域(0,+)
性质(1)过定点(0,1)
(2)当x>0时,y>1。(2)当x>0时,0<y<1。
x<0时,0<y<1x<0时,y>1
(3)在(-,+)上是增函数(3)在(-,+)上是减函数
注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx的图象,如何确
定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?
提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即
c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义
如果axN(a0且a1),那么数x叫做以a为底,N的对数,记作xlogN,其中a
a
叫做对数的底数,N叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式特点记法
一般对数
底数为aa0,且a1logN
a
常用对数底数为10
lgN
自然对数底数为elnN
2、对数的性质与运算法则
1alogNaN
(1)对数的性质(a0,且a1):①log0,②log1,③aaN,④logN。
aaa
2/9
(2)对数的重要公式:
logN
①换底公式:logNa(a,b均为大于零且不等于1,N0);
blogb
a
1
②logb。
aloga
b
(3)对数的运算法则:
如果a0,且a1,M0,N0那么
①log(MN)logMlogN;
aaa
M
②loglogMlogN;
aNaa
③logMnnlogM(nR);
aa
n
④logbnlogb。
amma
3、对数函数的图象与性质
a10a1
图
象
性
(1)定义域:(0,+)
质
(2)值域:R
(3)当x=1时,y=0即过定点(1,0)
(4)当0x1时,y(,0);(4)当x1时,y(,0);
当x1时,y(0,)当0x1时,y(0,)
(5)在(0,+)上为增函数(5)在(0,+)上为减函数
注:确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.
3/9
4、反函数
指数函数x与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称。
y=ay=logaxy=x
(三)幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα(a∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而
指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
1
注:在上图第一象限中如何确定3,2,,yx2,-1方法:可画出;
y=xy=xy=xy=xx=x0
1
当时,按交点的高低,从高到低依次为3,2,,yx2,-1;
x0>1y=xy=xy=xy=x
1
当时,按交点的高低,从高到低依次为-1,yx2,,2,3。
0<x0<1y=xy=xy=xy=x
3、幂函数的性质
y=xy=x2y=x31y=x-1
yx2
定义域RRR[0,)
x|xR且x0
值域R[0,)R[0,)
y|yR且y0
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0,)时,增;增增x∈(0,+)时,减;
x∈(-,0)时,减
x∈(,0]时,减
定点(1,1)
三:例题诠释,举一反三
知识点1:指数幂的化简与求值
例1.(2007育才A)
2211
34
[(3)3(5)()3()2()2]
(1)计算:89;
4/9
41
232
a38a3b23baa
(a3)
22
a5a3a
(2)化简:4b323aba3
变式:(2007执信A)化简下列各式(其中各字母均为正数):
2111

(a3b1)ab3
22;
(1)
6ab5
51121

a3b2(3ab1)(4a3b3).
(2)622
12
72
()042(323)6()3
(3)63
知识点2:指数函数的图象及应用
11
()a()b
例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式23,下列五个关系式:①0<b<a。②a<
b<0。③0<a<b。④b<a<0。⑤a=()

变式:(2010华附A)若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共
点,则a的取值范围是_______.
知识点3:指数函数的性质
2xb
例3.(2010省实B)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数。
2x12
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判断函数fx的单调性。
(Ⅲ)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范围.
exa
变式:(2010东莞B)设a>0,f(x)=是R上的偶函数.
aex
(1)求a的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
知识点4:对数式的化简与求值
例4.(2010云浮A)计算:(1)log(23)
23
2
(2)2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)2lg21。
5/9
1324
(3)lg-lg8+lg245.
2493
变式:(2010惠州A)化简求值.
(1)log7+log12-1log42-1。
248222
(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25。
(3)(log2+log2)·(log3+log3).
3948
知识点5:对数函数的性质
例5.(2011深圳A)对于0a1,给出下列四个不等式:
11
①log(1a)log(a);②log(1a)log(1);
aaaaaa
11
11
③a1aaa;④a1aaa;其中成立的是()
(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④
11
变式:(2011韶关A)已知0<a<1,b>1,ab>1,则log,logb,log的大小关系是
ababb
()
1111
logbloglog
a
babbaabbb
1111
logloglogb
abbabbbaba
例6.(2010广州B)已知函数f(x)=logx(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|
a
≥1成立,试求a的取值范围.
变式:(2010广雅B)已知函数f(x)=log(x2-ax-a)在区间(-∞,1-]上是单调递减
23
.
知识点6:幂函数的图象及应用
1
例7.(2009佛山B)已知点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点2,,在幂函数g(x)的图
4
:(1)f(x)g(x);(2)f(x)g(x);(3)f(x)g(x).
变式:(2009揭阳B)已知幂函数f(x)=xm22m3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上
b
是单调减函数.(1)求函数f(x)。(2)讨论F(x)=af(x)的奇偶性.
xf(x)
四:方向预测、胜利在望
1x
1.(A)函数f(x)lg的定义域为()
x4
A.(1,4)B.[1,4)C.(-∞,1)∪(4,+∞)D.(-∞,1]∪(4,+∞)
2.(A)以下四个数中的最大者是()
(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln2(D)ln2
1
3(B)设a>1,函数f(x)=logx在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()
a2
(A)2(B)2(C)22(D)4
6/9
4.(A)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)
635
af(),bf(),cf(),则()
522
(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab
2ex1,x2,
5.(B)设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为()
log(x21),x2,
3
(A)(1,2)(3,+∞)(B)(10,+∞)
(C)(1,2)(10,+∞)(D)(1,2)
6.(A)设Plog3,Qlog2,Rlog(log2),则()
2323
QRRPQ
7.(A)已知logblogalogc,则()
111
222
2a2b2b2a2b
8.(B)下列函数中既是奇函数,又是区间1,1上单调递减的是()
(A)f(x)sinx(B)f(x)x1
12x
(C)f(x)(axax)(D)f(x)ln
22x
9.(A)函数ylog(3x2)的定义域是:()
1
2
A[1,)B(2,)C[2,1]D(2,1]
333
10.(A)已知函数ylogx与ykx的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则k()
1
4
1111
A..D.
4422
11.(B)若函数f(x)axb1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限,则一定
有()
a1且b1且b0
a1且b1且b0
12.(B)若函数f(x)logx(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=
a
()
2211
.
4242
13.(A)已知0<x<y<a<1,则有()
(A)log(xy)0(B)0log(xy)1
aa
(C)1log(xy)2(D)log(xy)2
aa
14.(A)已知f(x6)logx,那么f(8)等于()
2
41
(A)(B)8(C)18(D)
32
15.(B)函数y=lg|x|()
,在区间(-∞,0),在区间(-∞,0)上单调递减
,在区间(0,+∞),在区间(0,+∞)上单调递减
lg(4x)
16.(A)函数y的定义域是____________________________.
x3
7/9
17.(B)函数ya1x(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线
11
mxny10(mn0)上,则的最小值为.
mn
ex,x
18.(A)设g(x)则g(g())__________
lnx,x
19.(B)若函数f(x)=2x22axa1的定义域为R,则a的取值范围为___________.
20.(B)若函数f(x)log(xx22a2)是奇函数,则a=.
a
11x
21.(B)已知函数f(x)log,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调
x21x
性.
参考答案:
三:例题诠释,举一反三
2
:(1),(2)a2
9
113513515ab

b3(ab)ab.
632变式:解:22(1)1,(2)(3)110
44ab34ab2
:B
1
变式:解:(0,);
2
1
:(Ⅰ)b1(Ⅱ)减函数。(Ⅲ)k
3
变式:解:(1)a=1.(2)略
:(1)-1.(2)1.(3)1.
2
35
71213
log变式:解:log2(1)2.(2)2.(3)
48422222224
:选D。
变式:解:C
:(1,3]∪[1,1)
3
变式:解:{a|2-23≤a<2}
:(1)当x1或x1时,f(x)g(x);
(2)当x1时,f(x)g(x);
(3)当1x1且x0时,f(x)g(x).
变式:解:(1)f(x)=x-4.
aa
(2)F(x)=bx3,∴F(-x)=+bx3.
x2x2
①当a≠0,且b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
8/9
②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数;
③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;
④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.
四:方向预测、胜利在望
1—5ADDDC;6—10AADDA;11—15CADDB.
12
16.(-,3)(3,4).[-1,0]20.
22
x0
1x
21.[解]x须满足1x,由0得1x1,
01x
1x
所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
因为函数f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有
11x11x
f(x)log(log)f(x),所以f(x)是奇函数.
x21xx21x
研究f(x)在(,)内的单调性,任取、∈(,),且设,则
01x1x201x1<x2
11x11x
f(x)f(x)log1log2
12x21xx21x
1122
1122
()[log(1)log(1)],
xx21x21x
1221
1122
由0,log(1)log(1)0,
xx21x21x
1221
得f(x)f(x)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减,
12
由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.
9/9