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有趣的自然数串
【例1】下面的自然数串,共有
多少个数?
【分析】法一:1,2,3,4,……,
31,32共有32个数;4,5,6,……,
31,32比它少1,2,3,共少3
个数,所以有32−3=29(个)数;
法二:4是第1个数,5是第2
个数,6是第3个数,数字和第
29个数;
法三:尾-首+1,32−4+1=29.
【例2】下面的自然数串,共有
多少个数?
【分析】法一:
1,2,3,4,5,6,7,8,……,
55,56,57,58,我们很容易知
道它有58个,我们可以将数列
分组:(1,2),(3,4),(5,6),
(7,8),……,(55,56),(57,
58),分成58÷2=29(组),每组
的偶数就是我们题目的数列,所
以有29个偶数.
法二:,
加一个2,变成第二个数4,
2+2×1=4;从第一个数2,加两
个2,变成第三个数6,
2+2×2=,后
面的数都是2加了若干个2变成
+2×?=58,
可以计算出是2加了
(58−2)÷2=28(个)
加一个2,数串就多一个数,那
一共加了28个2,也就是多了
28个数,再加上原来就有的一个
数2,这样就可以知道这个数串
一共有28+1=29(个)数.
【例3】下面的自然数串,共有
多少个数?第10个数是多少?
【分析】
4,加一个3,变成第二个数7,
4+3×1=7;从第一个数4,加两个
3,变成第三个数10,
4+3×2=,后
面的数都是4加了若干个3变成
+3×?=67,可
以计算出是4加了(67−4)÷3=21
(个),
数串就多一个数,那一共加了21
个3,也就是多了21个数,再加
上原来就有的一个数4,这样就
可以知道这个数串一共有
21+1=22(个)数.
由第一问可以知道,第十个数是
个3,数串就多一个数,那第十
个数,就是加了10−1=9(个)3,
也就是比第一个数多了3×9=27,
则第十个数是27+4=31.
【例4】把1,2,3,4,5,……,
28,29,30这三十个数,从左往
右依次写下来,成为一个数,这
个数共写了多少个数字?
【分析】法一:分段计算这个数
共包含有多少个数字:1至9共
有9个数字;10至19共有10
个自然数,每个都由两个数字组
成,这一段共有2×10=20(个)
个自然数,
个数所包含的数字总数是:
(个).
法二:1至9共有9个数字;10
至30共有30−10+1=21(个)自
然数,每个都由两个数字组成,
这一段共有2×21=42(个)数
:9+42=51(个)
数字.
法三:先把所有的数看成两位数,
算出2×30=60(个)数字,再去
掉9个一位数,共有60−9=51(个)
数字
【例5】一只猫捉了12只老鼠,
自语地说:“我要分三次吃掉它
们,我先让它们站成一行编号,
我从第一只开始吃,然后隔一只
吃掉一只;吃完后我让它们不许
动,第二次还是从剩下的第一只
吃起,隔一只吃一只;第三次也
是照这个办法吃,把最后一只放
了.”猫的话被聪明的小白鼠听
见了,于是它很快选好了一个位
置,,
小白鼠选的是第几号位置呢?
【分析】因为每隔一只吃一只,
我们可以分析出猫每次会吃哪
些老鼠:第一次吃的老鼠是:1,
3,5,7,9,11;还剩下:2,4,
6,8,10,12;第二次吃的老鼠
是:2,6,10;还剩下:4,8,
12;第三次吃的老鼠是:4,12;
还剩下:8.
最后剩下的排在第8的老鼠会被
放掉,所以小白鼠就站在了这排
的第8个.