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学必求其心得,业必贵于专精
1。1。3圆柱、圆锥、圆台和球
学****目标核心素养
1。了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(重
1。通过圆柱、圆锥、圆
点)
台、球的定义及结构特征
、圆锥、圆台、球的结构
的学****培养直观想象的
特征.(重点)
数学核心素养.
、圆锥、圆台、球的
结构特征识别和区分几何体.(难点)
的学****提升数学运算的
,并利用轴截
数学核心素养.
面解决问题.(难点)
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形
定义
成的面所围成的旋转体
图示及轴:旋转轴叫做圆柱的轴
相关底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面
概念侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面
-1-:.
学必求其心得,业必贵于专精
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴
的边
柱体:圆柱和棱柱统称为柱体
2。圆锥的结构特征
定以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边
义旋转一周形成的面所围成的旋转体
图
示轴:旋转轴叫做圆锥的轴
及底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面
相侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面
关母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
概锥体:棱锥和圆锥统称为锥体
念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部
定义
分
图示轴:圆锥的轴
及底面:圆锥的底面和截面
-2-:.
学必求其心得,业必贵于专精
相关侧面:圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
概念母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体:棱台与圆台统称为台体
4。球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一
定义
周形成的旋转体叫做球体,简称球
图示及球心:半圆的圆心
相关半径:半圆的半径
概念直径:半圆的直径
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成的;另一种是由
简单几何体截去或挖去一部分而成的.
思考:等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面
所围成的几何体是什么几何体?
[提示]圆锥
-3-:.
学必求其心得,业必贵于专精
1。如图所示的组合体的结构特征是()
C[由简单组合体的基本形式可知,该组合体是一个棱柱中截去
一个棱锥.]
,底面半径为6,则其高等于()
B[由圆锥的轴截面可知,圆锥的母线、底面半径与高构成直
角三角形,所以其高为=8。]
错误!
:
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线;
②球的直径是球面上任意两点间的连线;
③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.
其中正确说法的序号是________.
-4-:.
学必求其心得,业必贵于专精
①[利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必
过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.]
旋转体的结构特征
【例1】判断下列各命题是否正确
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆
柱的母线;
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成
的几何体是圆台;
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角
形,圆台的轴截面是等腰梯形;
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.
[解](1),圆柱的母线应平行于轴.
(2)
由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
(3)正确.
(4).
-5-:.
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、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)
旋转而成的几何体,必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
,才能明确由此产生的母线、
轴、底面等概念,进而判断与这些概念有关的命题的正误.
()
,有无数条母线
C[A错误,应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得
到的旋转体是圆锥;若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构
,没有说明这两个平行截面与底面的位置
关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误
,通过圆台侧面上一点,.]
简单组合体的结构特征
-6-:.
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【例2】如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC。
当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成一个几
何体,试描述该几何体的结构特征.
[思路探究]关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成.
[解]如图所示,旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆
锥后剩余部分而成的组合体.
问题,首先要对原平面图形作适当的分割,一般分割成矩形、梯形、
三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形,然后结合圆柱、圆
锥、圆台、球的形成过程进行分析.
.
-7-:.
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[解]图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②
所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示
的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
旋转体中的计算
[探究问题]
、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形?
[提示]圆面.
、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形?
[提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形.
,截面是什么图形?
[提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得
到的几何体,所以任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经
过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.
?
[提示]球的截面均是圆面,球面被经过球心的平面截得的圆
-8-:.
学必求其心得,业必贵于专精
叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.
【例3】一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2
和25πcm2,求圆台的高.
[思路探究]作出圆台的轴截面,是一个等腰梯形.
[解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得OA=2cm,OB=5cm.
1
又由题意知,腰长为12cm,
所以高AM=
错误!
=3(cm).
错误!
,求圆锥的母线长.
[解]如图所示,延长BA,OO,CD,交于点S,
1
设截得此圆台的圆锥的母线长为l,
则由△SAO∽△SBO,可得=,解得l=20cm。
1错误!错误!
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
-9-:.
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,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为
错误!
的圆柱,求圆柱的底面半径.
[解]设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,则由三
角形相似,
得=,
错误!错误!
即1-=,解得r=1。
错误!错误!
即圆柱的底面半径为1。
与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时,一般先画出圆锥的轴截面,
得到一等腰三角形,进而可得到直角三角形,将问题转化为有关直
、母线长、底面圆的
半径长等问题时,都是通过取其轴截面,
空间问题转化为平面问题来解决.
、圆锥、圆台、球的定义及结构特
-10-:.
学必求其心得,业必贵于专精
征,难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体.
(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用.
(2)简单组合体的构成形式及识别方法.
.
(正确的打“√",错误的打“×”)
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几
何体是圆柱.()
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.
()
(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
()
[答案](1)√(2)×(3)×
[提示](1)正确;(2)错误,应以直角梯形的垂直于底边的腰为
轴;(3)错误,应是平面与圆锥底面平行.
,所得几何体是
()
-11-:.
学必求其心得,业必贵于专精
D[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直,故绕对角线
旋转一周形成两个圆锥.]
.
[答案]四棱台和球
,求此圆
柱的底面半径.
[解]设圆柱底面半径为r,母线为l,则由题意得
解得r=。
错误!错误!
所以此圆柱的底面半径为。
错误!
-12-