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努力的你,未来可期!
第二篇函数及其性质
【考试要求】
,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;
,解决方程解的个数与不等式解的问题.
【知识梳理】
步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);
(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
(1)平移变换
(2)对称变换
关于x轴对称
y=f(x)的图象―——————————―→y=-f(x)的图象;
关于y轴对称
y=f(x)的图象―——————————―→y=f(-x)的图象;
关于原点对称
y=f(x)的图象――————————————→y=-f(-x)的图象;
关于直线y=x对称
y=ax(a>0,且a≠1)的图象――——————————→y=logx(a>0,且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
纵坐标不变
y=f(x)――———————————————————→y=f(ax).
1
各点横坐标变为原来的(a>0)倍
a
横坐标不变
y=f(x)―————————————————————―→y=Af(x).
各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍
(4)翻折变换
拼搏的你,背影很美!:.
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x轴下方部分翻折到上方
y=f(x)的图象――————————————→y=|f(x)|的图象;
x轴及上方部分不变
y轴右侧部分翻折到左侧
y=f(x)的图象―————————————————―→y=f(|x|)的图象.
原y轴左侧部分去掉,右侧不变
【微点提醒】
记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
【疑误辨析】
(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.()
(2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.()
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.()
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()
【教材衍化】
x2,x<0,
2.(必修1P24A7改编)下列图象是函数y=的图象的是()
x-1,x≥0
3.(必修1P23T2改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加
快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是()
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【真题体验】
4.(2019·青岛二中月考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)
的解析式为()
(x)=ex+(x)=ex-1
(x)=e-x+(x)=e-x-1
5.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()
=ln(1-x)=ln(2-x)
=ln(1+x)=ln(2+x)
6.(2019·上海崇明区检测)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________.
2
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【考点聚焦】
考点一作函数的图象
【例1】作出下列函数的图象:
|x|
1
(1)y=;(2)y=|log(x+1)|;
22
(3)y=x2-2|x|-1.
【规律方法】作函数图象的一般方法
(1)(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关
键点直接作出.
(2)、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并
应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】分别作出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;(2)y=sin|x|.
考点二函数图象的辨识
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sinx
【例2】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图象大致为()
x2
(2)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()
【规律方法】,定性分析:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判
断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
,定量计算:
从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【训练2】(2018·浙江卷)函数y=2|x|·sin2x的图象可能是()
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考点三函数图象的应用
角度1研究函数的性质
【例3-1】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()
(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
角度2求不等式的解集
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【例3-2】已知函数y=f(x)的图象是如图所示的折线ACB,且函数g(x)=log(x+1)”,则不等式f(x)≥g(x)
2
的解集是()
A.{x|-1<x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<x≤1}
D.{x|-1<x≤2}
角度3求参数的取值范围
|x|,x≤m,
【例3-3】(2019·合肥一中质检)已知函数f(x)=其中m>,使得关于
x2-2mx+4m,x>m,
x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
【规律方法】,其性质(单
调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的
横坐标;不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合
思想.
【训练3】(1)(2019·杭州检测)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<
g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)()
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-1,最大值1
,无最小值
-1,无最大值
-1,无最小值
(2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是________.
【反思与感悟】
对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值
域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、,还可以
判断方程f(x)=g(x)的解的个数,求不等式的解集等.
【易错防范】
1
,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位,先作如下
2
1
变形f(-2x+1)=f-2x-,可避免出错.
2
,前者是自身对称,且为偶函数,
后者是两个不同函数的对称关系.
,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用.
【核心素养提升】
【直观想象】——函数图象的活用
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直观想象是发现和提出问题,分析和解决问题的重要手段,在数学研究的探索中,通过直观手段的运用以
及借助直观展开想象,从而发现问题、解决问题的例子比比皆是,并贯穿于数学研究过程的始终,而数形
结合思想是典型的直观想象范例.
类型1根据函数图象特征,确定函数解析式
函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法,图象形象直观,解析式易于研究函数性质,可根据需要,
相互转化.
【例1】已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()
ln|x|
(x)=
x
ex
(x)=
x
1
(x)=-1
x2
1
(x)=x-
x
类型2利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
【例2】(2019·安徽江淮十校联考)已知max{a,b}表示a,(x)=max{e|x|,e|x-2|},则
f(x)的最小值为________.
【例3】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点
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m
为(x,y),(x,y),…,(x,y),则∑x=()
1122mmi
i=1
【规律方法】,函数y=f(x)与y=|x2-2x-3|图象分别关于直线x=1对称,则两图象的
交点关于x=1对称.
、纵坐标之和的问题,常利用图象的对称性求解,即找出两图象的公共对称轴或对称
中心,从而得出各交点的公共对称轴或对称中心,由此得出定值求解.
类型3利用函数的图象求解方程或不等式
若研究的方程(不等式)不能用代数法求解,但其与基本初等函数有关,常将方程(不等式)问题转化为两函
数图象的交点或图象的上下位置关系,然后由图象的几何直观数形结合求解.
π
【例4】(1)函数f(x)=2sinxsinx+-x2的零点个数为________.
2
|x|+2,x<1,
x
(2)(2017·天津卷)已知函数f(x)=2设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,则a
2
x+,x≥1.
x
的取值范围是()
A.[-2,2]B.[-23,2]
C.[-2,23]D.[-23,23]
【分层训练】
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【基础巩固题组】(建议用时:35分钟)
一、选择题
1-x2
1.(2019·长郡中学联考)函数f(x)=的图象大致为()
ex
(x)=ax-b的图象如图所示,则()
>1,b>1
>1,0<b<1
<a<1,b>1
<a<1,0<b<1
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,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y==f(x)的图象与
y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是()
11
A.-eB.-.
ee
4.(2019·黄山一模)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为()
=f(|x|)=f(-|x|)
=|f(x)|=-f(|x|)
(2x+1)是奇函数,则函数y=f(2x)的图象成中心对称的点为()
A.(1,0)B.(-1,0)
11
C.,0D.-,0
22
ex,x≤e,
6.(2019·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(e-x)的大致图象是()
lnx,x>e,
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d
7.(2019·烟台二模)已知函数f(x)=(a,b,c,d∈R)的图象如图所示,则()
ax2+bx+c
>0,b>0,c<0,d><0,b>0,c<0,d>0
<0,b>0,c>0,d>>0,b<0,c>0,d>0
(2-m)x
(x)=的图象如图所示,则m的取值范围为()
x2+m
A.(-∞,-1)B.(-1,2)
C.(0,2)D.(1,2)
二、填空题
9.(2019·石家庄模拟)若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点________.
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,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为
________.
(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.
2
|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.
【能力提升题组】(建议用时:15分钟)
ln|x|1
=+在[-2,0]∪(0,2]上的大致图象为()
x2x2
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14.(2019·济南模拟)若直角坐标系内A,B两点满足:
(1)点A,B都在f(x)图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,
x2+2x(x<0),
B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)=2则f(x)的“和谐点对”有()
(x≥0),
ex
(x),g(x)满足f(-x)=f(x),且在(0,+∞)上单调递减,g(1-x)=g(1+x),且在(1,
1
+∞)上单调递减,设函数F(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有()
2
(1-x)≥F(1+x)(1-x)≤F(1+x)
(1-x2)≥F(1+x2)(1-x2)≤F(1+x2)
x+1
(x)=的图象与直线y=kx+1交于不同的两点(x,y),(x,y),则y+y=________.
x112212
【新高考创新预测】
17.(多选题)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是()
(x+2)是偶函数
(x+2)是奇函数
(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数
(x)没有最小值
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