中考复习三角形专题一含答案.pdf

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中考复****三角形专题一含
答案
TheponywasrevisedinJanuary2021:.
2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷
(共12小题)
,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等
于()

,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S=S
△PAB△
,则满足此条件的点P()
PCD


∠E的角平分线
∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于()
::::AC
,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△
BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()
:.
,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为
等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()

,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是
()

,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是
()
.
,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为
D,E,F,则PD+PE+PF的值为()

,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H
在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是()
:.
,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连
接BE、BF、,则△BEF的面积为()

(共14小题)
,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=.
,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、,
则S:S:S=.
△ABO△BCO△CAO
,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠
AEC=.
,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,
EF=EH,那么EH的长为.
,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一
点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为(用
含a的式子表示).
,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于
D,E两点,则CD的长为.
,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足
为G,=8cm,则BG=:.
~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加
一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别
记为S,S,S,…,S,则S+S+S+…+S=.
1231012310
,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作
FG∥CD,交AC边于点G,=18,BC=12,则△CEG的周长为.
,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻
折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC
的顶点C的坐标为.
,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当
△PAB为直角三角形时,AP的长为.
,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三
角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边
上),则剪下的等腰三角形的面积为.
△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为.
,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形
ABCD的面积为=,BD的长为.
(共4小题)
,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;:.
(2)若AB+CD=2+2,求AB.
:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边
在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm;
请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积).
,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE
分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上
的高,试证明:AE=2CM+BN.
2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷
参考答案与试题解析
(共12小题):.
,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等
于()

【分析】设空白出的面积为x,根据题意列出关系式,相减即可求出m﹣n的值.
【解答】解:设空白出图形的面积为x,
根据题意得:m+x=9,n+x=6,
则m﹣n=9﹣6=3.
故选B.
【点评】本题考查了三角形的面积;设出未知数,根据三角形的面积得出关系式是解决问
题的关键.
,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S=S
△PAB△
,则满足此条件的点P()
PCD


∠E的角平分线
∠E的角平分线所在的直线(E点除外):.
【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可
得到S=S.
△PAB△PCD
【解答】解:作∠E的平分线,
可得点P到AB和CD的距离相等,
因为AB=CD,
所以此时点P满足S=S.
△PAB△PCD
故选D.
【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.
,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于()
::::AC
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例
定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性
质可有=,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可
证.
【解答】解:如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,
∵BE∥AC,:.
∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,
∴△BDE∽△CDA,
∴=,
又∵AD是角平分线,
∴∠E=∠DAC=∠BAD,
∴BE=AB,
∴=,
∴AB:AC=BD:CD.
故选:A.
【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定
.
,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△
BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()

【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找
出图中的等腰三角形.
【解答】解:∵AB=AC,:.
∴△ABC是等腰三角形;
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形;
在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形;
∵BE=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE是等腰三角形;
∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,:.
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,
∴∠A=∠ADE,
∴DE=AE,
∴△ADE是等腰三角形;
∴图中的等腰三角形有5个.
故选D.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角
和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角
形,不要遗漏.
,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为
等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()

【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2,然后分类讨论:若AC=AB;若BC=AB;若
CA=CB,确定C点的个数.
【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,2)、B(4,0).
∴AB=2,
①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(含B点),即(0,0)、
(4,0)、(0,4),:.
∵点(0,4)与直线AB共线,
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个;
②若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点(A点除外),即满足△
ABC是等腰三角形的C点有2个;
③若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点
有2个;
综上所述:点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有5个.
故选A
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论
思想的运用.
,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是
()

【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形,则S=S,S=S,可
△ABD△ADE△BDC△CDE
得出S=S.
△ADC△ABC
【解答】解:如图,延长BD交AC于点E,
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,:.
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE,
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,
∴S=S,S=S,
△ABD△ADE△BDC△CDE
∴S+S=S+S=S,
△ABD△BDC△ADE△CDE△ADC
∴S═S=×12=6,
△ADC△ABC
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,由BD=DE得到S=S,S=S
△ABD△ADE△BDC△
是解题的关键.
CDE
,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是
()
:.
【分析】A、D是黄金三角形,C、过A点作BC的垂线即可;只有B选项不能被一条直线
分成两个小等腰三角形.
【解答】解:A、中作∠B的角平分线即可;
C、过A点作BC的垂线即可;
D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可;
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.
故选B.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,此题的4个选项中
只有D选项有点难度,所以此题属于中档题.
,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为
D,E,F,则PD+PE+PF的值为()

【分析】首先连接PA、PB、PC,再根据正三角形的面积的求法,求出边长为2的正三角
形的面积是多少;然后判断出S=S+S+S=PD+PE+PF,据此求出PD+PE+PF的值为多少
ABCAPBAPCBPC
即可.
【解答】解:如图,连接PA、PB、PC,,:.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴△ABC的面积为:
;
∵S=S+S+S
ABCAPBAPCBPC
=×2×PD+×2×PF+×2×PE
=PD+PE+PF
∴PD+PE+PF=,
即PD+PE+PF的值为.
故选:B.
【点评】(1)此题主要考查了等边三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键
是要明确:①等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.②等边三角形是轴对称图
形,它有三条对称轴;③它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对
称轴.
(2)此题还考查了等边三角形的面积的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
边长是a的等边三角形的面积是a2.
,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H
在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是():.

【分析】设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h,△CGH底边GH上的高
1
为h,根据图形可知h=h+
212阴
=S,由此即可得出结论.
影△ABC
【解答】解:设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h,△CGH底边GH上
1
的高为h,
2
则有h=h+h,S=BC?h=2,
12△ABC
∴S=S+S=GH?h+GH?h=GH(
阴影△AGH△CGH12
h+h)=GH?h.
12
∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=BC,
∴GH=BD=BC,
∴S=×(BC?h)=S=5.
阴影△ABC
故选A.
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质,解题的关键是找出S
阴影
=,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的面积公式找出阴
△ABC
影部分的面积与△:.
,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连
接BE、BF、,则△BEF的面积为()

【分析】连接AC,过B作EF的垂线,利用勾股定理可得AC,易得△ABC的面积,可得BG
和△ADC的面积,三角形ABC与三角形ACD同底,利用面积比可得它们高的比,而GH又
是△ACD以AC为底的高的一半,可得GH,易得BH,由中位线的性质可得EF的长,利用
三角形的面积公式可得结果.
【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H,
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∴AC===4,
∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC,
∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形,
∴AG=BG=2
∵S=ABBC=×2×2=4,
△ABC
∴S=2,
△ADC
∵=2,
∵△DEF∽△DAC,:.
∴GH=BG=,
∴BH=,
又∵EF=AC=2,
∴S=EFBH=×2×=,
△BEF
故选C.
方法二:S=S﹣S﹣S﹣S,
△BEF四边形ABCD△ABE△BCF△FED
易知S+S=S=3,S=,
△ABE△BCF四边形ABCD△EDF
∴S=S﹣S﹣S﹣S=6﹣3﹣=.
△BEF四边形ABCD△ABE△BCF△FED
故选C.
【点评】此题主要考查了三角形面积的运算,作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解
答此题的关键.
(共14小题)
,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD,再根据全等三角形的性质得出结论.
【解答】解:△ABE和△ACD中,
,:.
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD=AE=2,AC=AB=5,
∴CE=BD=AB﹣AD=3,
故答案为3.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键.
,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、,
则S:S:S=4:5:6.
△ABO△BCO△CAO
【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,
OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边
AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S:S:S的值.
△ABO△BCO△CAO
【解答】解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,
∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,
∴OD=OE=OF,
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,
∴S:S:S=(AB?OD):(BC?OF):(AC?OE)=AB:BC:AC=40:50:
△ABO△BCO△CAO
60=4:5:6.
故答案为:4:5::.
【点评】,注意掌握辅助线的作法,注意数形
结合思想的应用.
,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠
AEC=70°.
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠
ACF=(∠B+∠B+∠1+∠2);最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度
数.
【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF;
又∵∠B=40°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),
∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2)=110°(外角
定理),
∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=70°.
故答案为:70°.
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性
质是解题关键.
,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,
EF=EH,:.
【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高,根据三角形
AEH与三角形ABC相似,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,即为
EH的长.
【解答】解:如图所示:
∵四边形EFGH是矩形,
∴EH∥BC,
∴△AEH∽△ABC,
∵AM⊥EH,AD⊥BC,
∴,
设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x,
∴,
解得:x=,
则EH=.
故答案为:.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,熟练掌握相似三角形的
:.
,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一
点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为3a(用含
a的式子表示).
【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a,DE=BE,则BF=2a,由含30°角的直角三角形的性
质得出DF=BF=a,即可得出△DEF的周长.
【解答】解:由折叠的性质得:B点和D点是对称关系,DE=BE,
则BE=EF=a,
∴BF=2a,
∵∠B=30°,
∴DF=BF=a,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a;
故答案为:3a.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计
算;熟练掌握翻折变换的性质,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的
关键.
,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于
D,E两点,:.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD=x,则
BD=4﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可.
【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴CD=AD,
∴AB=BD+AD=BD+CD,
设CD=x,则BD=4﹣x,
在Rt△BCD中,
CD2=BC2+BD2,即x2=32+(4﹣x)2,
解得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端
点的距离相等是解答此题的关键.
,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足
为G,=8cm,则BG=4cm.
【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E,构建等腰△BDM、全等三角
形△BED和△MHD,利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到:BE=MH,所以
BG=MH=:.
【解答】解:如图,作MD⊥BC于D,延长MD交BG的延长线于E,
∵△ABC中,∠C=90°,CA=CB,
∴∠ABC=∠A=45°,
∵∠GMB=∠A,
∴∠GMB=∠A=°,
∵BG⊥MG,
∴∠BGM=90°,
∴∠GBM=90°﹣°=°,
∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=°.
∵MD∥AC,
∴∠BMD=∠A=45°,
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM,
而∠GBH=°,
∴GM平分∠BMD,
而BG⊥MG,:.
∴BG=EG,即BG=BE,
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°,
∴∠MHD=∠E,
∵∠GBD=90°﹣∠E,∠HMD=90°﹣∠E,
∴∠GBD=∠HMD,
∴在△BED和△MHD中,
,
∴△BED≌△MHD(AAS),
∴BE=MH,
∴BG=MH=4.
故答案是:4.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、
“SAS”、“ASA”、“AAS”;
质.
~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加
一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别
记为S,S,S,…,S,则S+S+S+…+S=π.
1231012310:.
【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表
示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜
边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;
(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=
(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π;
(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三
个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π;
综上所述:发现S+S+S+…+S=π.
12310
【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5,r==1
∴S=π×12=π
1
(2)图2,由S=×3×4=×5×CD
△ABC:.
∴CD=
由勾股定理得:AD==,BD=5﹣=
由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径==
∴S+S=π×+π×=