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专题02参数方程
知识通关

xf(t)
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且
yg(t)
对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这
条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.

通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),
xf(t)
把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么
yg(t)
参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
(1)参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消
元法等,其中代入消元法、,常利用同
角三角函数关系式消参。如sin2cos21等。
(2)普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的
值。一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、
截距作为参数;与实践有关的问题,,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵
坐标)作为参数.

普通方程参数方程
xxtcos
过点M(x,y),α为直线的倾斜角的直y-y=tanα(x-0(t为参
0000yytsin
0
线x)
0数)
1
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xrcos
圆心在原点,半径为r的圆x2+y2=r2(θ为参数)
yrsin
x2y2xacos
中心在原点的椭圆1(a>b〉0)(φ为参数)
a2b2ybsin
【注】(1)在直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是
直线上任一点M(x,y)到M(x,y)的距离.
000
xxRcos
(2)若圆心在点M(x,y),半径为R,则圆的参数方程为0(θ为参数)。
000yyRsin
0
xxacost
(3)若椭圆的中心不在原点,而在点M(x,y),相应的椭圆参数方程为0(t为参数).
000yybsint
0
基础通关
,了解参数的意义。
、圆和圆锥曲线的参数方程.
题组一参数方程与普通方程的互化
(1)将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.
(2)把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取
值范围的影响,要保持同解变形.
【例1】已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16。
(2)因为直线l与圆C有公共点,
|2a|
故圆C的圆心到直线l的距离d4,解得-2错误!≤a≤2错误!。
5
题组二参数方程及其应用
(1)解直线与圆的参数方程的应用决问题时,一般是先化为普通方程,再根据直线与圆的位置关系来解决问
2
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题.
xxat
0
(2)对于形如(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
yybt
0
x2y2x2t
【例2】已知曲线C:1,直线l:(t为参数)。
49y22t
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
【解析】(1)曲线C的参数方程为错误!(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
5
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,
5
25
则|PA|=错误!=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=错误!.
5
225
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
5
25
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5
22525
故|PA|的最大值与最小值分别为,。
55
能力通关
:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离
,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再
(x,y)的直线l交曲线C于A,B两点,若直线的参数方程为
00
xxtcos
0(t为参数),注意以下两个结论的应用:
yytsin
0
(1)|AB|=|t-t|;
12
(2)|MA|·|MB|=|t·t|。
12
3
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,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函
数问题,利用三角函数知识解决问题.
,,
还要结合题目本身特点,,充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用
ρ和θ的几何意义,直接求解,可化繁为简.
利用参数的几何意义解决问题
x1cos
【例1】在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为(为参数),以原点为极点,x轴
y1sin
π
的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos()1.
6
(I)写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程;
|PM|2+|PN|2
(II)若P(0,1),且直线l与曲线C交于M,N两点,求的值。
(|PM||PN|)2
【解析】(I)依题意,曲线C:x12y121,即x2y22x2y10,
故曲线C的极坐标方程为22cos2sin10;
π
因为直线l的极坐标方程为2cos()1,即3cossin10,所以直线l的直角坐标方程为
6
3xy10.
坐标系与参数方程的综合问题
xcos
【例2】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴
1y3sin
4
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
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos()32.
24
(1)求曲线C的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
12
(2)已知点P在曲线C上,点Q在曲线C上,求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标.
12
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos,3sin),
因为曲线C是直线,
2
所以|PQ|的最小值即点P到直线xy60的距离的最小值,
|cos3sin6|
易得点P到直线xy60的距离为d2|sin()3|,
26

当且仅当2k(kZ)时,d取得最小值,即|PQ|取得最小值,最小值为22,此时点P的直角坐
3
13
标为(,).
22
x
x22cosx
【例3】在平面直角坐标系中,曲线C:(为参数)经伸缩变换2后的曲线为C,
1ysin2
yy
以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
2
π
(2)已知A,B是曲线C上两点,且AOB,求OA3OB的取值范围.
26
x22cosx22
【解析】(1)曲线C:化为普通方程为:y21,
1ysin4
5
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x
xx2x
由2得,代入上式可知:曲线C的方程为x12y21,即x2y22x,
yy2
yy
∴曲线C的极坐标方程为2cos。
2
高考通关
x2t1
,直线l:(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
yt1
极坐标系,曲线C:4cos。
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)试判断直线l与曲线C是否相交,若相交,请求出弦长;若不相交,请说明理由.
x2t1
【解析】(1)由消去t得x2y30,
yt1
所以直线l的普通方程为x2y30.
由4cos两边同乘以得24cos,
因为x2y22,xcos,
所以x2y24x,配方得(x2)2y24,即曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24。
6
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(2)法一:由(1)知,曲线C:(x2)2y24的圆心为(2,0),半径为2,
|203|5
由圆心到直线的距离公式得(2,0)到直线x2y30的距离d2,
55
所以直线l与曲线C相交,设交点为A、B,
5295
所以|AB|222()2。
55
295
所以直线l与曲线C相交,其弦长为。
5
法二:由(1)知,l:x2y30,C:(x2)2y24,
x2y30
联立方程,得,消去y得5x222x90,
(x2)2y24
因为2224593040,
所以直线l与曲线C相交,
229
设交点坐标为A(x,y),B(x,y),由根与系数的关系知xx,xx,
1122125125
1229295
所以|AB|1()2()24,
2555
295
所以直线l与曲线C相交,其弦长为.
5
2
x3t
2
,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为
2
y1t
2
π
极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos.
6
(1)求直线l的极坐标方程;
πOQ
(2)若射线=0与直线l交于点P,与曲线C交于点Q(Q与原点O不重合),求的值.
3OP
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2
x3t
2
【解析】(1)由消去t得直线l的普通方程为xy40,
2
y1t
2
把xcos,ysin,代入xy40得直线l的极坐标方程为cossin4.
48
OPππ
(2)由题意可得,ππ13,OQ2cos3,
cossin36
33
OQ1333
所以=3.
OP88
,点P的坐标为(1,3),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,
4
曲线C的极坐标方程为4cos2sin。

(1)求点P的极坐标(,)(02π)及曲线C的参数方程;
1
(2)过点P的直线l交曲线C于M,N两点,若|MN|3,求直线l的直角坐标方程.
【解析】(1)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,3)是第一象限内的点,
π
2,tan3且0,
12
π
,
3
π
点P的极坐标为(2,).
3
4
曲线C的极坐标方程为4cos2sin
,
244cos2sin,
由2x2y2,cosx,siny得x2y244x2y,
曲线C的直角坐标方程为x2y24x2y40,即(x2)2(y1)21,
x2cos
曲线C的参数方程为(为参数)。
y1sin
(2)显然直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y3k(x1),即kxy3k0,
8
备战2019高考数学选择题专题02参数方程文
|MN|3,圆C的半径为1,
1
圆C的圆心(2,1)到直线l的距离为,
2
|k13|1853
,化简得3k28(31)k15830,解得k3或k,
k2123
直线l的直角坐标方程为3xy230或(853)x3y8380。
、极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为
31
sin().
62
(1)求直线l的参数方程;
x2cos
(2)设l与曲线(为参数)相交于A,B两点,求点P(1,1)到A,B两点的距离之积.
ysin
x2cos
(2)易得(为参数)的普通方程为x24y24,点P(1,1)在直线l上,
ysin
3
x1t
2317
把直线代入x24y24可得(1t)24(1t)24,即t2(43)t10,显
1224
y1t
2
4
然tt,
127
4
故点P(1,1)到A,B两点的距离之积为.
7
1
xt
,已知曲线C的参数方程为2(t为参数),在以O为极点,x轴的正半
y3t
轴为极轴的极坐标系中,曲线D的极坐标方程为(1sin)2.
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备战2019高考数学选择题专题02参数方程文
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与曲线D的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C与曲线D交于M,N两点,求|MN|.
【解析】(Ⅰ)消掉参数t,得曲线C的普通方程为y32x,即2xy30.
曲线D的方程可化为:sin2,显然0,
所以化为直角坐标方程为x2y2y2,
化简得x244y。
5
xm
5
方法二:将曲线C的参数方程化为(m为参数),并代入曲线D的直角坐标方程,得
25
y3m
5
525
(m)244(3m),整理得m2+85m400.
55
85(85)2440
由求根公式解得m45210,
1,221
故|MN||mm|410.
12
10