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广东省深圳外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题.pdf

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拼搏的你,背影很美!
2018-2019学年高三第一次月考
文科数学试题
第Ⅰ卷(选择题共60分)
:(每小题只有一个选项,每小题5分,共计60分)
1
yylogx,x1,Byy()x,x1,则AB等于()
22

1
y0yyy0C.
2
3x3

:x(0,),有1,p:R,sincos,则在命题q:pp;
12112
22
q:pp;q:pp和q:pp中,真命题是()
212312412
,,,,q
13231424
522
sin,bcos,ctan,则()
777
bccac
(x)x3(a1)x2ax,若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方
程为
()
x
(x)log(x24x5)在区间(3m2,m2)内单调递增,则实数m的取值范围为
1
2
()
4444
A.[,3]B.[,2]C.[,2)D.[,)
3333

0,函数f(x)sin(x)在(,)上递减,则的取值范围是()
42
13151
A.,B.,C.(0,]D.(0,2]

24242
ex
的图像大致是()
x
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
.
yy
22
11
-2-1O12x-2-1O12x
-1-1
-2-2
(x)满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()
(25)f(80)f(11)(80)f(11)f(25)
(11)f(80)f(25)(25)f(11)f(80)
11
xsinxx,x0,且cosx,x0,那么下列命题中真命题的序号是
3030
()
①fxfx②fxfx
的最大值为;的最小值为;
00
③fx在上0,是减函数;④fx在上x,上是减函数.
0
A.①③B.①④C.②③D.②④
1
(x)满足f(1)1,且f(x)的导函数f(x),则满足2f(x)x1的x
2
的集合为
()

1x1Cxx1,或x1
,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆
,终边为射线OP,过
点P作直线OA的垂线,垂足为M,
将点M到直线OP的距离表示成x
的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上
的图象大致为()
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
a1
(x)xlnx,g(x)x3x25,若对任意的x,x[,2],都有
x122
f(x)g(x)2成立,则a的取值范围是()
12
A.(0,)B.[1,)C(,0)D.(,1]
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:(每小题5分,共计20分)
(x1)2logx在x(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为________.
a
1
,b是两个不共线的非零向量,,tb,(ab)三向量的终点在
3
同一直线上,则t________.
(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x且x0,则a的取值范围是.
00
π91π
(x)=4sin(2x+)(0≤x≤),若函数F(x)=f(x)-3的所有零点依次记为x,x,x,…,
66123
x,且x<x<x<…<x,则x+2x+2x+…+2x+x=________.
n123n123n-1n
三、解答题:(本大题6小题,17题10分,18—22题每小题12分,共70分。解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)。
(1)若a与b2c垂直,求tan()的值;
(2)求|bc|的最大值;
ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,c5,且b2sinBsinA2absinA2csinC.
(Ⅰ)求C的值;
4
(Ⅱ)若cosA,求b的值.
5
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
ex
(x),其中a为正实数.
1ax2
4
(1)当a时,求f(x)的极值点;
3
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
,该村投资了800万元修复和加强民俗文化
基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游
8
人数f(x)与第x天近似地满足f(x)8(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似
x
地满足g(x)143x22(元).
(1)求该村的第x天的旅游收入p(x),并求最低日收入为多少?(单位:千元,1x30,
xN*);
(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据,并以纯收入的5%税率收回投资成
本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?

,上的函数yf(x)的图像关于直线x对称,当x时,函数

244
ysinx.

(Ⅰ)求f(),f()的值;
24
(Ⅱ)求yf(x)的表达式;
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)a有解,那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为
M,求M的所有可能取值及相应a的的取值范围.
aa
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
(x)lnxax2(12a)x(a0).
(1)若x0,使得不等式f(x)6a24a成立,求实数a的取值范围;
(2)设函数yf(x)图象上任意不同的两点为A(x,y),B(x,y),线段AB的中点为
1122
C(x,y),记直线AB的斜率为k,证明:kf(x).
000
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
文科数学参考答案
一、选择题BCDDCBBABBBB
12
(x)x3x25,则g(x)3x22xx(3x2),∴函数g(x)在[,]上单调
23
211141
递减,在[,2]上单调递增,g()5,g(2)845,
328481
11
x[,2],f(x)g(x)2恒成立,所以f(x)[g(x)2]g(x)21,即x[,2]
2212maxmax2
a11
时,f(x)1恒成立,即xlnx1在[,2]上恒成立,所以axx2lnx在[,2]上恒成立,
x22
令h(x)xx2lnx,则h(x)12xlnxx,
1
而h(x)32lnx,当x[,2]时,h(x)0,
2
1
所以h(x)12xlnxx在[,2]单调递减,
2
1
由于h(1)0,所以x(,1)时,h(x)0,x(1,2)时,h(x)0,所以h(x)h(1)=1,
2
即a1.
1
(,0]2
二、填空题13.(1,2]
2
三、解答题
(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)。
(1)若a与b2c垂直,求tan()的值;
(2)求|bc|的最大值;
17解:(1)∵a与b2c垂直,
∴a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin
4isn()8cos()0,
∴tan()2。
(2)由bc(sincos,4cos4sin),得
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
|bc|(sincos)2(4cos4sin)21715sin242,

当sin21即k(kZ)时,等号成立,所以|bc|的最大值为42。
4
:(Ⅰ)b2sinBsinA2absinA2csinC
2bab2aba2c2化简得222
abcab
a2b2c21
cosC
2ab2
2
C0,C
3
4
(Ⅱ)cosAA0,
,
5
4
sinAsinBsinACsinAcosCcosAsinC
5
3143433
.
525210
433
5
csinB10
由正弦定理得b43
sinC3
2
(1ax22ax)ex
:对f(x)求导得f'(x),①
(1ax2)2
431
(1)当a时,令f'(x)0,则4x28x30,解得x,x,
31222
结合①,可知x,f'(x),f(x)的变化情况如下:
13
(,)
112233
x(,)(,)
2222
f'(x)+0-0+
f(x)↗极大值↘极小值↗
31
∴x是极小值点,x是极大值点.
1222
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f'(x)在R上不变号,
结合①与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立,
由此4a24a4a(a1)0,∵a0,∴0a1.
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
,该村投资了800万元修复和加强民俗文化
基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的
8
旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)8(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费
x
g(x)近似地满足g(x)143x22(元).
(1)求该村的第x天的旅游收入p(x),并求最低日收入为多少?(单位:千元,1x30,
xN*);
(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据,并以纯收入的5%税率收回投资成
本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
8
解析(1)依据题意,有p(x)f(x)g(x)(8)(143x22)(1x30,xN*)
x
968
8x976,1x22,xN*

x
即p(x)
1320
8x1312,22x30,xN*
x
968968
(2)10当1x22,xN*时,p(x)8x97628x9761152(当且仅当
xx
x11时,等号成立).因此,p(x)p(11)1152(千元).
min
13201320
20当22x30,xN*时,p(x)8x8x1312的性
xx
1320
质,可知y8x1312在(22,30]上单调递减,于是,p(x)p(30)1116(千元).
xmin
又11521116,所以,日最低收入为1116千元.
该村两年可收回的投资资金为111620%5%30122(千元)=(万元).
800万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金.

,上的函数yf(x)的图像关于直线x对称,当x时,函数

244
ysinx.
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!

(Ⅰ)求f(),f()的值;
24
(Ⅱ)求yf(x)的表达式;
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)a有解,那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为
M,求M的所有可能取值及相应a的的取值范围.
aa

21解:(Ⅰ)f()f()sin0,
2
332
f()f()sin.
4442

(Ⅱ)设x,则x
2442

∴f(x)f(x)sin(x)cosx
22

sinx,x,

4
∴f(x)


cosx,x,

24
(Ⅲ)作函数f(x)的图像
显然,若f(x)a有解,则a0,1。
2
①若0a,f(x)a有两解,M;
2a2
23
②若a,f(x)a有三解,M;
2a4
2
③若a1,f(x)a有四解,M
2a
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!

④若a1,f(x)a有两解,M。
a2
2
综上所述,当0a或a1时,f(x)a有两解,M;
2a2
23
当a时,f(x)a有三解,M;
2a4
2
当a1时,f(x)a有四解,M.
2a
(x)lnxax2(12a)x(a0).
(1)若x0,使得不等式f(x)6a24a成立,求实数a的取值范围;
(2)设函数yf(x)图象上任意不同的两点为A(x,y),B(x,y),线段AB的中点为
1122
C(x,y),记直线AB的斜率为k,证明:kf(x).
000
(1)∵f(x)lnxax2(12a)x(a0),其定义域为(0,),
1(x1)(2ax1)
∴f(x)2ax(12a),
xx
∵a0,x0,∴2ax10,
所以当0x1时,f(x)0,f(x)在(0,1)上单调递增;
当x1时,f(x)0,f(x)在(1,)上单调递减;
从而当x=1时,f(x)取得最大值f(1)ln1a(12a)a1,
1111
由题意得a16a24a,解得a,即实数a的取值范围(,).
3232
1
(2)∵f(x)2ax(12a),
x
12
∴f(x)2ax(12a)a(xx)(12a),
0x0xx12
012
f(x)f(x)[lnxax2(12a)x][lnxax2(12a)x]
又k21222111
xxxx
2121
x
ln2
[lnxlnx]a(x2x2)(12a)(xx)x
=212121=1a(x+x)(12a).
xxxx21
2121
不妨设xx0,要证明kf(x),
210
努力的你,未来可期!:.
拼搏的你,背影很美!
x
ln2
x2
即证明1a(x+x)(12a)a(xx)(12a),
xx21xx12
2112
xx
ln22(21)
x2x2(xx)x
只需证明1,即证明ln2211,
xxxxxxxx
211211221
x
1
2(x1)14(x1)2
构造函数g(x)=lnx,则g(x)=0,
x1x(x1)2x(x1)2
所以g(x)在[1,]上是增函数,当x1时,g(x)g(1)0,
x
2(21)
xxx
又21,所以ln21,从而kf(x)成立.
xxx0
1121
x
1
努力的你,未来可期!