微积分下册期末试卷及问题详解[1].pdf

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y
f(xy,)x2y2
xf(x,y)
1、,如此_____________.
1

x2exdx
2、,如此0___________.
f(x,y)x2xyy2y1__________
3、函数在点取得极值.
f(x,y)x(xarctany)arctanyf(1,0)
4、,如此x________.
y(CCx)e3xC,C
5、以12<12为任意常数>为通解的微分方程是
____________________.
edx

e(1p)xdx
xlnp1xp
6知0与1均收敛,如此常数的取值X围是<c>.
p1p11p2p2
<A><B><C><D>
4x
,x2y20

f(x,y)x2y2


0,x2y20
7数在原点连续,
是因为该函数<b>.
<A>在原点无定义<B>在原点二重极限不存在<C>在原点有二重
极限,但无定义<D>在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、假如
I31x2y2dxdyI31x2y2dxdy
12
x2y21,1x2y22,
I31x2y2dxdy
3
2x2y24,如此如下关系式成立的是<a>.
IIIIIIIII
<A>123<B>213<C>123<D>
III
213
y6y9y5(x1)e3x
9、方程具有特解<d>.
yaxby(axb)e3x
<A><B>
y(ax2bx)e3xy(ax3bx2)e3x
<C><D>

a2(1)na
nn
10、设n1收敛,如此n1<d>.
<A>绝对收敛<B>条件收敛<C>发散<D>不定
一、填空题<每一小题3分,共15分>
x2(1y)
12
(,)
1y33y"6y'y0
1、.2、.3、.4、、.
3
3
yxy0yx2
2x4y
11、求由,,:的函
.:.
2
xy3,y0x4y8
,.于是
24
88
V(42y3)2dy16(80)y3dy
(3分)00
387
33
128y7128(830)
77

0
512

(6分)7
x2y2
lim
x0x2y211
12、求二重极限y0.
(x2y2)(x2y211)
lim
x0x2y211
解:原式y0<3分>
lim(x2y211)2
x0
y0<6分>
2z
zz(x,y)zezxyxy
13、由确定,求.
F(x,y,z)zezxy
解:设,如此
FyFxF1ez
x,y,z
zFyyzFxx
xy
xF1ez1ezyF1ez1ez
z,z<3分>
z
1ezyez
2zyy1ezxy

xyy1ez(1ez)21ez(1ez)2
<6分>
zx2y21xy1
14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.
zx2(1x)212x22x2
解:
11
xx
令z'4x20,得2,z"40,2为极小值点.<3分>
113
(,)
zx2y21y1x222
故在下的极小值点为,极小值为<6分>
x
1yy
dyedx
12
y
15、计算2.
x311
1y
Idyeydxee2
1282
解:y<6分>
2
.:.
(x2y2)dxdy
Dyx2y21
6、计算二重积分D,其中是由轴与圆周所围成的在第一
象限内的区域.

(x2y2)dxdy1
2dr3dr
解:==8<6分>
D00
yyx
17、解微分方程.
pyypppx
解:令,,方程化为,于是
ex[(x1)exC](x1)Cex
11<3分>
1
ypdx[(x1)Cex]dx(x1)2CexC
1212
<6分>

(n31n31)
18、判别级数n1的敛散性.
2
n31n31
n31n31
解:<3分>
n31n31nn
limlim1
133
nnn1n1
因为nn
1
19、将函数3x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.
111

x1
3x3n
1x
31x1x1
解:由于,n0,,<3分>
11x1
()nxn
3x333n13x3
那么n0n0,.<6分
20、,销售
Rxx
收入<万元>与电台广告费用1<万元>的与报纸广告费用2<万元>之间的关系
有如下的经验公式:
R1514x32x8xx2x210x2
121212,
求最优广告策略解:公司利润为
LRxx1513x31x8xx2x210x2
12121212
L138x4x0,
4x8x13,
x12112

L318x20x0,8x20x31,
令x12即
212
35
(x,x)(,)(,)
1244
得驻点,而<3分>
AL40BL8CL20
xx,xx,xx,
111222
.:.
DACB280640
,
所以最优广告策略为:
<万元>,<万元>.<6分>
四、证明题<每一小题5分,共10分>
zz1
11xy
zln(x3y3)xy3
21、设,证明:.
z1x2z1y2
33
3,3
x11y11
x3y3x3y3
证:

u2v2(uv)2
nnnn
22、假如n1与n1都收敛,如此n1收敛.
0(uv)2u2v22uv2(u2v2)
证:由于nnnnnnnn,<3分>

u2v22(u2v2)
nnnn
并由题设知n1与n1都收敛,如此n1收敛,

(uv)2
nn
从而n1收敛.<6分>
y
f(xy,)x2y2
f(x,y)
1、设x,如此_____________.
15
()()
2、2,如此2=___________.
f(x,y)2x2axxy22y(1,1)
3、设函数在点取得极值,如此常数
f(x,y)xy(x4arctany)f(1,0)
4、,如此x________
yCexCe3xC,C
5、以12<12为任意常数>为通解的微分方程是
__________________.
edx

epxdx
1xlnpx
6、0与均收敛,
p
如此常数的取值X围是<>.
p0p0p10p1
<A><B><C><D>
f(x,y)x2y2(0,0)
7、对于函数,点<>.
<A>不是驻点<B>是驻点而非极值点
<C>是极大值点<D>是极小值
I(xy)2dI(xy)3d
12(x2)2(y1)21
8、,,其中D为,如此
DD
<>.
IIIIIII2I2
<A>12<B>12<C>12<D>12
.:.
y5y6yxe2x
9、方程具有特解<>.
yaxby(axb)e2x
<A><B>
y(ax2bx)e2xy(ax3bx2)e2x
<C><D>

(1)n2naa
nn
10、级数n1收敛,如此级数n1<>.
<A>条件收敛<B>绝对收敛
<C>发散<D>敛散性不定
yx3y0x2x
11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
11
lim(xsinysin)
x0yx
12、求二重极限y0.
xy2z
zarctan
1xyx2
13、设,求.
f(x,y)xyxy1
14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值.
11xy
dxxedy
15、计算00.
x2y2dxdy
Dyx2(y1)21
16、计算二重积分D,其中是由轴与圆周所围成的
在第一象限内的区域.
xyy0
17、解微分方程.
2n

n!
n
18、判别级数n1的敛散性.
1
f(x)
x(x3)
19、将函数展开成的幂级数.
xy
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,假如生产单位甲产品,生产
20x30y(2x22xy3y2)100
单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各
生产多少时该工厂取得最大利润.
ulnx2y2z2
21、设,证明
2u2u2u1

x2y2z2x2y2z2
.

a2b2ab
nnnn
22、假如n1与n1都收敛,如此n1收敛.
〔可能会有错误大家一定要自己核对〕
一、填空题<每一小题3分,共15分>
zxyf(xy)y0zx2z
1、设,且当时,,如此.
x22xy2yy2
〔〕
.:.
dx1

1x32
2、计算广义积分=.〔〕
dz
zexye(dxdy)
3、设,如此(1,1).〔〕
y5y6yxe2x(ax2bx)e2x
4、微分方程具有形式的特解.〔〕
11
u4u

n2n2n
5、设n1,如此n1_________.〔1〕
二、选择题<每一小题3分,共15分>
3sin(x2y2)
lim
x0x2y2
1、y0的值为〔A〕

f(x,y)f(x,y)f(x,y)(x,y)
2、x00和y00存在是函数在点00可微的〔A〕.
;;
;.
z4x2y2x2y21
3、由曲面和z0与柱面所围的体积是〔D〕.

221
dr4r2dr42d4r2dr
;;

211
d4r2dr42dr4r2dr
C、00;
ypyqyf(x)
4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解
yxyexye2x
1,2,3,如此其通解为〔C〕.
xCexCe2xCxCexCe2x
;;
xC(exe2x)C(xex)C(exe2x)C(e2xx)
;
(1)n1

npp
5、无穷级数n1<为任意实数>〔D〕
A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断
三、计算题<每一小题6分,共60分>
xy
lim
x0xy11
1、求如下极限:y0.
xyxy(xy11)
limlim
x0xy11x0(xy1)1
解:y0y0…〔3分〕
lim(xy11)112
x0
y0…〔6分〕
yxx1x4y0x
2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
.:.
4
V(x)2dx
解:x1…〔4分〕

…〔6分〕
zz
,
ezxyzzz(x,y)xy
3、求由所确定的隐函数的偏导数.
x
解:方程两边对求导得:
zzzyzz
ezyzxy
xxxezxyx(z1)
,有…〔3分〕
y
方程两边对求导得:
zzzxzz
ezxzxy
yyyezxyy(z1)
,有…〔6分〕
f(x,y)x34x22xyy2
4、求函数的极值.
f(x,y)x34x22xyy2
解:,如此
f(x,y)3x28x2yf(x,y)2x2y
x,y,
f(x,y)6x8f(x,y)2f(x,y)2,
xx,xy,yy
3x28x2y0,

2x2y0,(0,0)(2,2)
求驻点,解方程组得和.…〔2分〕
(0,0)f(0,0)80f(0,0)2f(0,0)2
对有xx,xy,yy,
B2AC120(0,0)f(0,0)0
于是,所以是函数的极大值点,且…〔4分〕
(2,2)f(2,2)4f(2,2)2f(2,2)2
对有xx,xy,yy,
B2AC120(2,2)
于是,不是函数的极值点.
y
d
xDyx,y2xx1,x2
6、计算积分D,其中是由直线与所围成的闭区域;
y22xy
ddxdy
x1xx
解:D.…〔4分〕
329
xdx
214
…〔6分〕
x
f(t)dt2xf(x)x
f(x)f(1)0f(x)
7、连续函数满足0,且,求.
x
解:关系式两端关于求导得:
11
f(x)f(x)
f(x)2f(x)2xf(x)12x2x
即…〔2分〕
f(x)
这是关于的一阶线性微分方程,其通解为:
1c
(xc)1
xx
=…〔5分〕
.:.
1
f(x)1
f(1)0c10c1x
又,即,故,所以…〔6分〕
2
yy2
1y
8、求解微分方程=0.
dpdp2
yppp20
ypdydy1y
解:令,如此,于是原方程可化为:…〔3分〕
dp2
p02
dy
dy1ypce1yc(y1)2
即,其通解为11…〔5分〕
dydy
c(y1)2cdx
1(y1)21
dx即
1
y1
cxc
故原方程通解为:12…〔6分〕
(x2)n

3n
9、求级数n1的收敛区间.
na3n1
t
Rlimnlim1
ta3n
tx23nnn
解:令,幂级数变形为n1,n1.…〔3分〕
1
(1)n
t13n
当时,级数为n0收敛;
1

t13n
当时,级数为n1发散.
tn

3nI[1,1)
故n1的收敛区间是t,…〔5分〕
(x2)n

3nI[1,3)
那么n1的收敛区间为x.…〔6分〕
sin(2nx)

n!
10、判定级数n1是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛.
sin(2nx)1

n!n!
解:因为…〔2分〕
1
(n1)!
lim0
11
n
n!n!
由比值判别法知n1收敛<>,…〔4分〕
sin(2nx)sin(2nx)

n!n!
从而由比拟判别法知n1收敛,所以级数n1绝对收敛.…〔6分〕
四、证明题<每一小题5分,共10分>
.:.

uuu
nnn1
1、设正项级数n1收敛,证明级数n1也收敛.
1
uu(uu)
nn12nn1
证:,…〔3分〕
1
(uu)
uu
2nn1
而由收敛,故由比拟原如此,nn1也收敛.…〔5分〕
y1z1zz
z
f(x2y2)f(u)xxyyy2
2、设,其中为可导函数,证明.
z2xyf

xf2
证明:因为,…〔2分〕
zf2y2f

yf2
…〔4分〕
1z1z2yff2y2f1z

xxyyf2yf2yfy2
所以.…〔5分〕
一、填空题<每一小题3分,共15分>
zxyf(yx)x0zy2
1、设,且当时,,如此z.
x22xy2xy2
〔〕
dx

1x21
2、计算广义积分=.〔〕
12
dzdxdy
zln(1x2y2)33
3、设,如此(1,2).〔〕
y6y9y5(x1)e3x(ax3bx2)e3x
4、微分方程具有形式的特解.〔〕
3n15

9n8
5、级数n1的和为.〔〕
二、选择题<每一小题3分,共15分>
3sin(x2y2)
lim
x0x2y2
1、y0的值为〔B〕
A、0B、3C、2D、不存在
f(x,y)f(x,y)(x,y)f(x,y)(x,y)
2、x和y在00存在且连续是函数在点00可微的〔B〕
;;
;.
z4x2y2x2y24
3、由曲面和z0与柱面所围的体积是〔B〕

242
dr4r2dr42dr4r2dr
;;
.:.

222
d4r2dr42d4r2dr
C、00;
ypyqyf(x)
4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解
yx2yexye2x
1,2,3,如此其通解为〔D〕
C(exe2x)C(e2xx2)Cx2CexCe2x
A、12;B、123;
x2CexCe2xx2C(exe2x)C(x2ex)
C、12;D、12
(1)n1

n2pp
5、无穷级数n1<为任意实数>〔A〕
A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散
三、计算题<每一小题6分,共60分>
2xy4
lim
x0xy
1、求如下极限:y0.
2xy44(xy4)
limlim
x0xyx0xy(2xy4)
解:y0y0…〔3分〕
111
lim
x02xy4224
y0…〔6分〕

[0,]x
2ysinx2y0x
2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的
体积.

V2sin2xdx
解:x0…〔4分〕
1
2
4
…〔6分〕
zz
,
ezxyzxyzz(x,y)xy
3、求由所确定的隐函数的偏导数.
F(x,y,z)ezxyzxy
解:〔一〕令
FFF
yzyxzxezxy
xyz
如此,,
利用公式,得
F
zxyzyyzy

xFezxyezxy
z
…〔3分〕
.:.
F
zyxzxxzx

yFezxyezxy
z
…〔6分〕
〔二〕在方程两边同时对x求导,得
解出
zyzy

xezxy
,…〔3分〕
zxzx

yezxy
同理解出…〔6分〕
f(x,y)x312xy8y3
4、求函数的极值.
f(x,y)x312xy8y3
解:,如此
f(x,y)3x212yf(x,y)24y212x
x,y,
f(x,y)6xf(x,y)12f(x,y)48y,
xx,xy,yy
3x212y0,

24y212x0,(0,0)(2,1)

求驻点,解方程组得和.…〔2分〕
(0,0)f(0,0)0f(0,0)12f(0,0)0
对有xx,xy,yy,
B2AC1440(0,0)
于是,所以点不是函数的极值点.…〔4分〕
(2,1)f(2,1)12f(2,1)12f(2,1)48
对有xx,xy,yy,
B2AC14412480A120(2,1)
于是,且,所以函数在点取得极小
f(2,1)2312218138
值,…〔6分〕
…〔5分〕
1
(2xy)d
yx,y
Dxy2
6、计算二重积分D,其中是由与所围成的闭区域;
2y
(2xy)ddy(2xy)dx
1
1
解:Dy…〔4分〕
2119
(2y21)dy
1y26
…〔6分〕
x
f(t)dt2f(x)x0
f(x)f(x)
7、连续函数满足0,求.
x
解:关系式两端关于求导得:
11
f(x)f(x)
f(x)2f(x)1022
即…〔2分〕
f(x)
这是关于的一阶线性微分方程,其通解为:
.:.
xxx

e2(e2c)1ce2
…〔5分〕
x

f(0)001cc1f(x)e21
又,即,故,所以…〔6分〕
(1x2)y2xy0
8、求微分方程的通解.
y
解这是一个不明显含有未知函数的方程
dyd2ydpdp
p(1x2)2px0
dxdx2dxdx
作变换令,如此,于是原方程降阶为
…〔3分〕
dp2x
dx
p1x2lnpln(1x2)lnC
,别离变量,积分得1
dy
C(1x2)
pC(1x2)1
dx
即1,从而…〔5分〕
再积分一次得原方程的通解
x3
C(x)C
132
y=…〔6分〕
(x3)n

n
9、求级数n1的收敛区间.
nan1
t
Rlimnlim1
tan
tx3nnn
解:令,幂级数变形为n1,n1.…〔3分〕
1
(1)n
t1n
当时,级数为n0收敛;
1

t1n
当时,级数为n1发散.
tn

nI[1,1)
故n1的收敛区间是t,…〔5分〕
(x3)n

nI[2,4)
那么n1的收敛区间为x.…〔6分〕
cos(nx)

n!
10、判定级数n1是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛:
cos(nx)1

n!n!
解:因为…〔2分〕
1
(n1)!
lim0
11
n
n!n!
由比值判别法知n1收敛<>,…〔4分〕
.:.
cos(nx)cos(nx)

n!n!
从而由比拟判别法知n1收敛,所以级数n1绝对收敛.…〔6分〕
四、证明题<每一小题5分,共10分>
a
a2n(a0)
nnn
1、设级数n1收敛,证明n1也收敛.
a11
|n|(a2)
n2nn2
证:由于,…〔3分〕
111a
(a2)n
a2
n22nn2n
而n,都收敛,故收敛,由比拟原如此知收敛..…〔5分〕
t2z2z
z2cos2(x)20
2、2t2xt
设,证明:.
证明:因为
ztt1
22cos(x)sin(x)()sin(2xt)
t222,…〔2分〕
2z2z2z2z
cos(2xt)2cos(2xt)2
t2xttxt2
,,…〔4分〕
2z2z
20
t2xt
所以…〔5分〕
.