1 / 11
文档名称:

一元二次函数总结.pdf

格式:pdf   大小:539KB   页数:11页
下载后只包含 1 个 PDF 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

一元二次函数总结.pdf

上传人:小辰GG 2023/3/26 文件大小:539 KB

下载得到文件列表

一元二次函数总结.pdf

文档介绍

文档介绍:该【一元二次函数总结 】是由【小辰GG】上传分享,文档一共【11】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【一元二次函数总结 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
一元二次函数的图象
一、定义:
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的一元二
,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系
数和常数项。
二、一元二次函数y=ax²+bx+c﹙a≠0﹚的图象(其中a,b,c
均为常数)
>0时
函数图象开口向上;
对称轴为x=﹣2a/b,有最小值且为﹙4ac-b²﹚/4a;
当x∈﹙﹣∞,﹣2a/b]时递减;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递增;
<0时
函数图象开口向下;
对称轴为x=﹣2a/b,有最大值且为﹙4ac-b²﹚/4a;
当x∈﹙﹣∞,﹣2a/b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减;
1/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
2.△=b²-4ac
当△>0时,函数图象与x轴有两个交点;
当△=0时,函数图象与x轴只有一个交点;
当△<0时,函数图象与x轴没有交点。
(如下图所示)
yax2bxca,b,c
三、抛物线中,的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
1
例1:画出yx2yx2y2x2的图象
2
2/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
1
yx2y2x2yx2
2
归纳:一般地,抛物线yax2的对称轴是y轴,顶点是原点,当a0时,抛物
线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当a0时,
抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大。
b和a共同决定抛物线对称轴的位置
(2)
11
例2:画出二次函数y(x1)2,y(x1)2的图象,考虑他们的开口方向、
22
对称轴和顶点。
3/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
11
y(x1)2y(x1)2
22
1
可以看出,抛物线y(x1)2的开口向下,对称轴是进过点(-1,0)且与x轴
2
1
垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线y(x1)2的开口向下,对
2
称轴是x=1,顶点是(1,0)。
1
例3:画出函数y(x1)21的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点。
2
11
抛物线yx2经过怎样的变换可以得到抛物线y(x1)21?
22
1
抛物线y(x1)21的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1)。
2
1
把抛物线yx2向下平移1个单位,再向左平移2个单位,就得到抛物线
2
1
y(x1)21。
2
归纳:一般地,抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同,位置不同。把抛物
线yax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线ya(xh)2k。平移的
方向、距离要根据h,k的值来决定。
抛物线ya(xh)2k有如下特点:
(1)当a0时,抛物线的开口向上;当a0时,抛物线的开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
4/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
(3)顶点坐标是(h,k)
1
例4:画出yx26x21的图象
2
归纳:一般地,可以用配方法求抛物线yax2bxc(a0)的顶点与对称轴
b4acb2
yax2bxca(x)2
2a4a
b
因此,抛物线yax2bxc的对称轴是x,顶点坐标是
2a
b4acb2
(,).
2a4a
cyax2bxc
(2)的大小决定抛物线与y轴交点的位置.
当x0时,,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
yc
①c0,抛物线经过原点;
②c0,与y轴交于正半轴;
③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,,则
b.
0
a
5/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
(2)a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧
b24ac
|x-x|=,与y轴交点为(0,c)
12a
b2-4ac>0,ax2+bx+c=0有两个不相等的实根
b2-4ac<0,ax2+bx+c=0无实根
b2-4ac=0,ax2+bx+c=0有两个相等的实根
、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条

<y<m﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣﹣2a/b<m
┗f(m)>0
<x<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣﹣2a/b>m
┗f(m)>0
<m<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣m<﹣2a/b<n
┗f(m)>0,f(n)>0
<x<n<y<p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏f(m)>0
┣f(n)<0
┗f(p)>0
﹙m,n﹚之间﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△=0
┗m<﹣2a/b<n
或f(m)·f(n﹚<0
┏f(m)=0

┗m<﹣2a/b<﹙n+m﹚/2
6/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
┏f(n)=0

┗﹙n+m﹚/2<﹣2a/b<n
五、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①yax2;②yax2k;③yaxh2;④yaxh2k;⑤
yax2bxc.
图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
yax2x0(y轴)(0,0)
yax2k当a0时x0(y轴)(0,k)
2开口向上
yaxhxh(h,0)
当a0时
yaxh2kxh(h,k)
开口向下
bb4acb2
yax2bxcx(,)
2a2a4a
六、二次函数图像的变换规律:
抛物线y=a(x-h)2+k的图像,可以由y=ax2得图像移动而得到。
y=ax2(a>0)的图像沿x轴翻折y=-ax2(a>0)
.
的图像

当h<0时,向左平移错误!未找到引用源。个单位长度,
当h>0时,向右平移错误!未找到引用源。个单位长度
y=a(x-h)2的图像

当k>0时,向上平移错误!未找到引用源。个单位长度
当k<0时,向下平移错误!未找到引用源。个单位长度
y=a(x-h)2-k的图像
7/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团

写成一般形式
y=ax2+bx+c的图像
规律:在原有函数基础上“h值正右移,负左移,k值正上移,负下移”
七、直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)
yyax2bxc0,c
(1)轴与抛物线得交点为()
yyax2bxc
(2)与轴平行的直线xh与抛物线有且只有一个交点
(h,ah2bhc).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x、x,是对应
12
一元二次方程
ax2bxc
方程的根的判别式判定:
0x
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
③没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两
交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数
(3)一样由根的判别式判定。
ykxnk0yax2bxca0
(5)一次函数的图像l与二次函数的图
像G的交点,由方程组
ykxn
的解的数目来确定:

yax2bxc

①程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②程组只有一组解时l与G只有一个交点;
③③方程组无解时l与G没有交点.
8/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点
xax2bxc0
为Ax,0,Bx,0由于x、是方程的两个根,故由韦
1212
bc
达定理知:xx,xx
12a12a
b24cb24ac
ABxxxx2xx24xx

12121212aaaa
八、二次函数与一元二次方程的关系:
(1)一元二次方程0ax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值
为0时的情况.
(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、
有一个交点、没有交点;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交
点时,交点的横坐标就是当y0时自变量x的值,即一元二次方程
ax2bxc0的根.
yax2bxc
(3)当二次函数的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程
yax2bxcyax2bxc
有两个不相等的实数根;当二次函数的图
象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实
yax2bxc
数根;当二次函数的图象与x轴没有交点时,则一元二次
方程ax2bxc0没有实数根。
例5:观察函数yx2x2,yx26x9,yx2x1的图象与x轴的交点,得
出一元二次方程的根。
9/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
可以看出:
(1)抛物线yx2x2与x轴有两个公共点,他们的横坐标是-2,
点的横坐标时,x20的根是-2,1.
(2)抛物线yx26x9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3,当x=3时,
6x90有两个相等的实数根3。
(3)抛物线yx2x1与x轴没有公共点,可知,方程x2x10没有实根。
归纳:一般地,从二次函数yax2bxc的图象可知,
(1)如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点,公共点的横坐标时x,那么当
0
xx及时方程ax2bxc0的一个根。
0
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点(b24ac0),
有一个公共点(b24ac0),有两个公共点(b24ac0)。这对应着一元二次
b
方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根(x),有两个不相
2a
bb24acbb24ac
等的实数根(x,x)。
12a22a
10/11
:.
东北师范大学“明日乡”公益支教团
九、二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和
五点法,其步骤是:
(1)先找出顶点坐标,画出对称轴;
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等);
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
11/11