智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练8.3椭圆(含答案详析).docx

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(含答案详析)
(含答案详析)
第八篇第3节
一、选择题
2
+y
2

=、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
25
16




分析:由方程知a=5,依据椭圆定义,
|PF1|+|PF2|=2a=.
答案:D
2
2
x
y
2.(2014唐山二模)P为椭圆4+
3=1
上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2
→
→
)
=60°,则PF
1·PF2等于(



3

分析:由椭圆方程知
a=2,b=
3,c=1,
|PF1|+|PF2|=4,
∴
1
2+|PF22-4=2|PF1
2
°
|PF
|
|
||PF|cos60
∴|PF1||PF2|=4.
→
→
→
→
=°4×
1
=2.
∴PF
1·PF2=|PF1||PF2|cos60
2
答案:D
2
2
x
y
3.(2012年高考江西卷)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右极点分别是
A、B,左、右焦点
分别是F1,|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(
)
1


5
1
-2

分析:此题考察椭圆的性质与等比数列的综合运用.
由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,
|F1B|=a+c,
又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
故(a-c)(a+c)=(2c)2,
c5
可得e=a=.
答案:B
22
xy
4.(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直
线订交于A,B两点,连结AF,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=4,则C的离心率为( )
5
A.
3

5
7
4


7
分析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-2×10×8×45=36,
则|AF|=6,∠AFB=90°,
1
半焦距c=|FO|=2|AB|
5,
设椭圆右焦点F2,
连结AF2,
由对称性知|AF2|=|FB|=8,
2a=|AF2|+|AF|=6+8=14,
即a=7,
c
5
则e=a=
7.
应选B.
答案:B
x2
y2
:m+
4=1,对于随意实数
k,以下直线被椭圆
E截得的弦长与
l:y=
kx+1被椭圆E截得的弦长不行能相等的是(
)
+y+k=0
-y-1=0
+y-k=0
+y-2=0
分析:取k=1时,l:y=x+1.
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
选项A中直线:y=-x-1与l对于x轴对称,截得弦长相等.
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
选项B中直线:y=x-1与l对于原点对称,所截弦长相等.
选项C中直线:y=-x+1与l对于y轴对称,截得弦长相等.
清除选项A、B、C,应选D.
答案:D
2
2
x
y
6.(2014
山东省实验中学第二次诊疗
)已知椭圆a2+b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a
=
c
,则该椭圆的离心率的取
F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点
P,使sin∠PF1F2
sin∠PF2F1
值范围为(
)
2
A.(0,2-1)

,1
2
,
D.(2-1,1)
2
分析:由题意知点P不在x轴上,
在△PF1F2中,由正弦定理得
|PF2
|
|PF1|
=
,
sin∠PF1F2sin∠PF
2F1
因此由
a
=
c
sin∠PF1F2sin∠PF2F1
c
可得|PF2|=|PF1|,
|PF1|c
即|PF2|=a=e,
因此|PF1|=e|PF2|.
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,
因此e|PF2|+|PF2|=2a,
2a
解得|PF2|=.
因为a-c<|PF2|<a+c,
2a
因此有a-c<<a+c,
e+1
即1-e<2<1+e,e+1
(含答案详析)
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(含答案详析)
1-e1+e<2,
也就是
2<1+e2,
解得2-1<e.
又0<e<1,
2-1<e<.
答案:D
二、填空题
22
xy
、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,
|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为________.
分析:∵|OM|=3,∴|PF2|=6,
又|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1
|=4.
答案:4
2
2

+y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别是
F1、F2,过F2作倾斜角为120°的直线与
a
b
椭圆的一个交点为
M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为________.
分析:不如设|F1F2|=1,
∵直线MF2的倾斜角为120°,
∴∠MF2F1=60°.
∴|MF2
1
|=
1
2
3,
|=2,|MF
3,2a=|MF|+|MF|=2+
2c=|F1F2|=1.
∴e=ac=2-3.
答案:2-3
y2x2
9.(2014西安模拟)过点(3,-5),且与椭圆25+9=1有同样焦点的椭圆的标准方程
为________________.
分析:由题意可设椭圆方程为
y2
+x2
=1(m<9),
25-m
9-m
(含答案详析)
(含答案详析)
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代入点(3,-5),
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
得5+3=1,25-m9-m
解得m=5或m=21(舍去),
y2x2
∴椭圆的标准方程为20+4=1.
22
yx
答案:+=1
2
2

,F
是椭圆C:x2
y2
→
2
a+b=1(a>b>0)
的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1
→
的面积为
9,则b=________.
⊥△PF1F2
|PF1|+|PF2|=2a,
分析:由题意得
|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
即4a2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴|PF12
2,
||PF|=2b
∴S△PF1F2=1
|PF1||PF2|=b2=9,
2
∴b=3.
答案:3
三、解答题
C1:
x2
y2
11.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系
xOy中,已知椭圆
a2+b2=1(a>b>0)的
左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线
l的方程.
a2-b2=1,
解:(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得
b=1,
a2=2,
2
b=1.
2
故椭圆C1的方程为x2+y2=1.
(含答案详析)
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(2)由题意剖析,直线l斜率存在且不为0,
(含答案详析)
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设其方程为y=kx+b,
由直线l与抛物线C2相切得
y=kx+b,
y2=4x,
2
2
2
消y得kx
+(2bk-4)x+b
=0,
2
2
2
①
1=(2bk-4)-4k
b=0,化简得kb=1.
y=kx+b,
由直线l与椭圆C1相切得x2
2
2+y=1,
消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,
2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,
化简得2k2=b2-1.
②
①②联立得
kb=1,
2k2=b2-1,
解得b4-b2-2=0,
∴b2=2或b2=-1(舍去),
2
2
∴b=2时,k=2
,b=-
2时,k=-
2.
2
2
即直线l的方程为
y=2x+
2或y=-2x-2.
x2
y2
12.(2014海淀三模)已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的四个极点恰巧是一边长为
2,一内
角为60°的菱形的四个极点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得△PAB为等边三角形,求k的值.
x2y2
解:(1)因为椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的四个极点恰巧是一边长为2,一内角为60°的菱
形的四个极点.
因此a=3,b=1,
2
椭圆C的方程为x3+y2=1.
(含答案详析)
(含答案详析)
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(2)设A(x
1,y1
1,-y1
),
),则
B(-x
当直线AB的斜率为
0时,AB的垂直均分线就是
y轴,
y轴与直线l:x+y-3=0
的交点为
P(0,3),
又因为|AB|=23,|PO|=3,
因此∠PAO=60°,
因此△PAB是等边三角形,
因此直线AB的方程为y=0,
当直线AB的斜率存在且不为0时,
则直线AB的方程为y=kx,
2
+y2=1,
因此3
y=kx,
化简得(3k2+1)x2=3,
因此|x1|=
3
,
3k2+1
则|AO|=
1+k2
3
3k2+3
=
.
3k2+1
3k2+1
1
设AB的垂直均分线为
y=-kx,
它与直线l:x+y-3=0
的交点记为P(x0,y0),
y=-x+3,
因此
1
y=-kx,
3k
x0=,
解得
3
y0=.
k-1
则|PO|=
9k2+9
k-1
2,
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
因为△PAB为等边三角形,
因此应有|PO|=3|AO|,
9k2+
9
3k2+3
代入得
k-1
2=3
2
,
3k+1
解得k=0(舍去),k=-1.
综上,k=0或k=-1.
(含答案详析)
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