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(含答案详析)
(含答案详析)
第十三篇第1节
一、选择题
,圆
ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是(
)
,
π
,-
π
2
2
C.(1,0)
D.(1,π)
分析:法一
2
2
2
由ρ=-2sinθ得ρ=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为
x+y=-2y,化
成标准方程为
x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为
1,-
π
2.
π
π
法二由ρ=-2sinθ=2cosθ+2知圆心的极坐标为1,-2
,应选B.
答案:B
,过点
(1,0)而且与极轴垂直的直线方程是
(
)
=cosθ
=sinθ
=1
=1
分析:过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为
x=1,其极坐标方程
为ρcosθ=1,应选C.
答案:C
,经伸缩变换后曲线
x2+y2=16
变换为椭圆x′2+y′2
=1,此
16
伸缩变换公式是(
)
1
x=4x′
x=
4x′
A.
B.
y=y′
y=y′
x=2x′
x=4x′
C.
D.
y=y′
y=8y′
分析:设此伸缩变换为
2
2
μy
,
得(λx)+
=1
16
2
2
2
2
即16λx
+μy=16.
与x2+y2=16比较得
x′=λxλ>0,
2
代入x′2+y′=1,
y′=μyμ>0
16
2
λ>0
,
1
,
16λ=1
λ=
2
μ>0
,
故4
μ=1
μ=1,
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
1
即所求变换为
x′=4x,
应选B.
y′=y.
答案:B
4.(2013年高考安徽卷)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别
为( )
π
=0(ρ∈R)和ρcosθ=2
=2(ρ∈R)和ρcosθ=2
π
=2(ρ∈R)和ρcosθ=1
=0(ρ∈R)和ρcosθ=1
分析:把圆ρ=2cosθ的方程化为(x-1)2+y2=1知,圆的垂直于极轴的两条切线方程分
别为x=0和x=2,进而得这两条切线的极坐标方程为
π
θ=
(ρ∈R)和ρcosθ=.
2
答案:B
二、填空题
5.(2014陕西西安高三模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ,
则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
________________.
分析:把圆O1和圆O2的极坐标方程ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ化为直角坐标方程分别为
(x-2)2+y2=4和x2+(y+2)2=4,因此两圆圆心坐标为
(2,0),和(0,-2),因此经过两圆圆
心的直线的直角坐标方程为
y=x-2.
答案:y=x-2
π
6.(2013年高考北京卷)在极坐标系中,点
到直线ρsinθ=2的距离等于________.
2,6
π
为点(
3,1),直线ρsinθ=2为直线y=2,
分析:把极坐标化为直角坐标,点
2,6
点(
3,1)到直线y=2的距离为1.
答案:1
π
7.(2014肇庆教课质量评估)在极坐标系(ρ,θ)ρ>0,0≤θ<2中,曲线ρ=2sinθ与ρ=
2cosθ的交点的极坐标为________.
分析:两式相除,得tanθ=1,
π
故θ=4,
π
代入ρ=2sinθ得ρ=2sin=2.
4
π
故友点的极坐标为2,4.
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
答案:
π
2,4
8.(2012年高考陕西卷)直线
2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ订交的弦长为________.
1
2
分析:2ρcosθ=1可化为2x=1,即x=2;ρ=2cos
θ两边同乘ρ得ρ=2ρcosθ,化为
直角坐标方程是
x2+y2==
1代入x2+y2=2x得y2=3,
2
4
y=±3,2
∴弦长为2×3=3.
2
答案:
3
,射线
π
A,与曲
θ=(ρ≥0)与曲线C1:ρ=4sinθ的异于极点的交点为
3
线C2:ρ=8sinθ的异于极点的交点为
B,则|AB|=________.
π
分析:将射线与曲线
C1的方程联立,得
θ=3,
ρ=4sinθ,
π
θ=,
解得
3
ρ=23,
故点A的极坐标为
π
23,3;
π
π
,
,
同原因
θ=3
得θ=3
ρ=8sinθ,
ρ=4
3,
可得点B的极坐标为
π
4
3,3,
因此|AB|=43-2
3=2
3.
答案:2
3
10.(2012年高考湖南卷)在极坐标系中,曲线C1:ρ(2cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ
a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=________.
ρ2cosθ+sinθ=1,
得ρ=a=2
分析:由
ρ=a,
2.
θ=0,
(含答案详析)
(含答案详析)
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答案:
2
(含答案详析)
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2
(含答案详析)
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三、解答题
,经过伸缩变换
x′=2x,
后,曲线C变成曲线(x-5)2
y′=2y
+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
x′=2x,
解:将
代入(x′-5)2+(y′+6)2=1,
y′=2y
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,化简得曲线C
的方程为
x-5
2+(y+3)2=
2
4
5,-3为圆心、半径为1的圆.
2
2
12.(2012
年高考江苏卷)在极坐标系中,已知圆
C经过点P2,π,圆心为直线
4
ρsinθ-π=-
3与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
3
2
解:在ρsinθ-π=-3中令θ=0,得ρ=1,
32
因此圆C的圆心坐标为(1,0).
π
由于圆C经过点P2,4,
因此圆C的半径
22π
|PC|=2+1-2×1×2cos
1,
于是圆C过极点,
因此圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(含答案详析)
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