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指数与指数函数
【知识梳理】
一、指数运算
1、根式
(1)看法:若xna(n1且nN),则称x为a的n次方根,“n”是方根的记号.
(2)a的n次方根的性质:
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,
0的奇次方根是
0;正数的偶次方
根是两个绝对值相等符号相反的数,
0的偶次方根是
0,负数没有偶次方根.
n
①naa;
②n为奇数,nan
=a;n为偶数,nan
=|a|=
a,
a
0,
a,
a
0.
2、有理数指数幂
(1)分数指数幂的意义:
①
a0
1(a
0且a
R)
(注:00没心义);
m
②an
nam(a
0,m,nN*,n
1);
m
1
1(
③
a
n
a
0,,
N
*
,
n
1).
m
nam
mn
an
(2)指数幂的运算性质
①
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
,
)
r
sR;
②ar
as
ars
(a
0,r,sR);
③
ar
s
ars
(a0,r,sR);
④
ab
r
ar
br
(a,b
0,rR).
二、指数函数
1、指数函数的看法:一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能够是负数、零和1.
2、指数函数yax(a0,a1)的图象与性质
精选
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0<a<1a>1
yy
图象(0,1)y=1(0,1)y=1
OxOx
定义域:R.
值域为:(0,+∞).
过定点:(0,1),即x=0时,y=1.
性质
0时,0y
1;
当x
0时,y1;
当x
当x
0时,y1.
当x
0时,0y1.
在R上单调递减.
在R上单调递加.
【典型例题】
题型一、根式的化简、指数幂的运算
例题1:化简:(1)7(
2)7
;
(2)4(3
)4
;
(3)4(a2)4
.
【剖析】(1)7(
2)7
2
(2)4
(3
)4
3
;(3)4
(a
2)4
a
2,a
2,
;
=
a,a
2.
2
【谈论】不注意n的奇偶性对式子
nan
的值的影响,是以致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,
记熟,会用,活用‘此题易错的是第(
3)题,常常忽视
a与2大小的谈论,造成错解.
2
1
0
例题2:计算:(1)
1
6
3
102
3
1
3
6
3
2
;(2)33
·3
·3.
【剖析】(1)原式
4
3
1
10
2
3
208
3;
2
3
6
1
1
1
1
1
1
1
(2)33
2·33·36=3
236=32=9.
·3
·3=3·3
【谈论】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其序次是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.
2
1
1
1
1
5
变式1:化简:(1)(a3b2)(
3a2b3)(
1a6b
6);
3
(2)(3
x
y2)6
x4y1
(x0,y0);
(3)526
743
642.
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1)]
2
1
1
1
1
5
【剖析】()原式
=[(3)÷(
a
3
2
6
b
2
3
6
9ab
0
9a;
1
3
1(6)
y
6x
4(1)
y
1(1)
x22
y
61
y
11
(2)原式
x3
2
2
2
2;
(3)原式
(
3
2)2
(2
3)2
(2
2)2
3
2232222.
【谈论】此题察看的是有理数指数幂的综合运算能力,必然要注意运算序次和灵便运用乘法公式.
变式2:若10x
3,10y
4,则102xy
________
.
【剖析】10
2x
y
10
2x
10
y
10
x
2
10
y
3
2
4
9
.
4
【谈论】此题察看的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用,将10x、10y看作一个整体,再进行代数运
算.
题型二、指数函数看法、定义域和值域
例题3:以下函数中属于指数函数的有()个.
(1)y
23x;(2)y
3x1;(3)y
(3)x;(4)y
(1)x;(5)y3x2;(6)y
4x;(7)y(2a1)x.
3
【剖析】(4)(6)属于指数函数
y
ax(a
0,a1)
的形式.
【谈论】在判断可否为指数函数时,应严格依照
y
ax(a
0,a
1)的形式来判断,特别要注意函数中可否有表
明a的取值范围.
例题4:求以下函数的定义域和值域:
1
2
|x|;
(1)y
2x4
;
(2)y(
)
(3)y=ax-1(a>0,a≠1).
3
1
【剖析】(1)令x-4≠0,则x≠4,因此函数y=2x4
的定义域是{x∈R∣x≠4},
1
1
1
又由于
≠0,因此2x4≠1,即函数y=2x
4的值域是{y|y>0且y≠1}.
x
4
(2)由于-|x|≥0,因此只有x=0.
因此函数y=(
2
)
|x|的定义域是{x∣x=0}.
2
2
2
3
而y=(
)
|x|=(
)0=1,即函数y=(
)
|x|的值域是{y∣y=1}.
3
3
3
(3)定义域为R,由于yax的值域为(0,
),因此y
ax1的值域为(1,
).
【谈论】由于指数函数y=ax,(a>0且a≠1)的定义域是R,因此这类近似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数
函数的定义域来求,并利用好指数函数的单调性.
y=bx
y
y=cx
例题5:如图,设a,b,c,d>0,且不等于
xx
x
,y=d
x
y=ax
y=dx
1,y=a,y=b
,y=c
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在同一坐标系中的图象如图,则
a,b,c,d的大小序次【
】
A、a<b<c<d
B、a<b<d<c
C、b<a<d<c
D、b<a<c<d
【剖析】∵a1=a
∴直线x=1与各函数图象交点的纵坐标为底数值,故
b<a<d<c,选C.
【谈论】由上述结果可知:当底数
>1时,指数函数底数越大,图象越凑近
y轴;当0<底数<1时,指数函数底数越
小,图象越凑近
y轴.
变式3:函数y
ax+5(a>0,a
1)恒过定点___________.
【剖析】由于y=ax过点(0,1),因此当x=0时,y=1+5=6,因此原函数过定点(0,6).
【谈论】解决定点问题,要点是理解指数函数的定点.
变式4:已知指数函数的图象过点(
3,),
1)求f(0),f(1),f(-3)的值;
2)利用图像比较三个函数值的大小.
1
1
【剖析】(1)设指数函数
x
(a>0
且a≠1)由于图象过点(
3
3
x
f(x)=a
3,π),因此f(3)=a3=π,即a=π
,f(x)=(π).
0
1
-1
1
.
再把0,1,3分别代入,得:f(0)=π=1,f(1)=
π=π,f(-3)=
π=
2)由图易知f(1)>f(0)>f(-3).
【谈论】依照待定系数法求函数剖析式,这是方程思想的运用.
变式5:当a
0时,函数y
axb和y
bax的图象只可能是(
)
y
y
y
y
1
1
1
1
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
【剖析】选项A中一次函数a
0,b
1,指数函数应是减函数,故
A对.
选项B中一次函数a
0,b
1,指数函数应是增函数,故
B错.
选项C中一次函数a
0,b
1
,指数函数应是减函数,故
C错.
选项D中一次函数a
0,b
1,指数函数应是增函数,故
D错.
故答案选A.
【谈论】利用一次函数和指数函数a,b的关系来确定图象,是此题的要点.
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题型三、解指数式方程、不等式
例题6:解以下方程:(1)2x
3x1
12
;
(2)2x2x12
1
.
【剖析】(1)2x3x1
12
1
2x
3x
12
6x
36
x
2;
3
2
(2)2xx121x2x120x4或x3.
【谈论】解此类方程时,常利用指数运算的性质化为常有的方程再求解.
(2)1
x
例题7:解以下不等式:(1)64x
1
1;
24x1.
2
【剖析】(1)64x1
14x
1
0
x
1
4
x
1.
(2)1
24x1
2x
24x1
x4x1x
2
5
【谈论】解此类不等式时,常化为同底,再利用函数单调性求解.
变式6:解以下方程:(1)9x
2
31
x
27;(2)32x5
53x2
2.
【剖析】(1)原方程化为(3x)2
-6×3-x-27=0,∴(3-x+3)(3-x-9)=0.
∵3-x+3
0,∴由
3-x-9=0得3-x=32,故x=-2是原方程的解.
(2)原方程化为3(3x
2)2
53x2
20,
(3x3
1)(3x2
2)0,
(3x2
2)0,3x3
1
0得3x3
1,x
3.
【谈论】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想,比方题(
1),把3
x看作未知数x,解得的一元二次方程的
x
根等于3,再解出最后结果;解得的结果必然要进行检验.
例题8:比较以下两个数的大小:
(1),;
(2)-,;
2
3
(3),
;
(4)(1)3
,2
5
.
3
【剖析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较:
对(1)由于函数y=3x在R上是增函数,
>,>;
对(2)由于函数y=,>-,因此
->;
对(3)由指数函数的性质知
>=1=>,因此
>;
(1
2
3
2
3
对(4)由指数函数的性质知
)
3>(1
)0=1=20>25,因此(1)3
>2
5.
3
3
3
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【谈论】第一把这两个数看作指数函数的两个函数值,
函数值,则追求一其中间量“1”,两个数都与这其中间量进行比较,
尔后得两个数的大小,
数学上称这类方法为“中
间量法”.
x2
3x
2
例题9:求函数y
1
的单调区间和值域.
2
3
3)2
1
,3]上递减,在[3,
1
u
【剖析】令ux2
3x2
(x
在(
)上递加,又y
2
为减函数,
2
4
2
2
3
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x2
3x
2
,3]上递加,在[3
因此y
2
1
在(
,
)上递减,当x
3
时,y
2
1
3
2
2
2
3
x2
3x
2
因此y
2
1
的值域为(0,24
3].
3
1
4
243为最大值,
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【谈论】第一要察看函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间.
变式7:已知f(x)
2
m是奇函数,求常数
m的值.
1
3x
【剖析】由
f(x)是奇函数,得
f(
x)
f(x)
0
,
即
2
m
2
m
0,
2
2
3x
2m
2(3x
1)
2m0,得m1.
1
1
113x
0,
3x
3
x
3x
13x
【谈论】此题中函数的定义域为
x
0,因此不能够利用
f(0)
0来求解,应利用奇函数的定义
f(x)
f(x)求
出m值.
变式8:判断函数f(x)
2x
1
的单调性、奇偶性.
2x
1
【剖析】任取
x1、x2
R,使x1
x2,
f(x1)
f(x2)
2x1
12x2
1
2(2x1
2x2)
,
2x1
12x2
1(2x1
1)(2x2
1)
由于2x
0,因此(2x1
1)(2x2
1)
0,y
2x为增函数,因此2x1
2x2
0,因此f(x1)
f(x2)
0,
因此f(x)在R上单调递加;
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2
x
1
2x(2x
f(x)
x
1
2x(2x
2
1)
1
2x
f(x),因此f(x)为奇函数.
1)
1
2x
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【谈论】在判断一个函数的单调性和奇偶性时,
性时,经过分子分母同乘2x化简,从而比较f(x)与f(x)的关系.
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精选
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【方法与技巧总结】
1、在进行有理数指数幂运算时,运算的方法及步骤为:
①根式运算时,常转变成分数指数幂,根式化为分数指数幂时,由里往外依次进行;
②有分式的转变成负数指数幂;
③底数尽量化为一致;
④四则运算的序次是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算
规律扩大到分数指数幂后,其运算序次仍吻合我们以前的四则运算序次.
2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特色,要用到数形结
合思想、分类谈论思想.
※题库题目仅供选择使用
【牢固练****br/>(
)
A、4a4=a
B、6(2)2=3
2
C、a0=1
D、10(21)5=(21).
2
2
化为分数指数幂的形式为(
)
1
1
1
5
A、22
B、23
C、
22
D、26
(x)=
12x
的定义域是(
)
A、
,0
B、[0,
)
C、(
,0)
D、(
,
)
,值域为
0,
的函数是(
)
2
2x
A、y3x
B、y
2x
1
C、y
2x1
D、y
1
2
(
1,3),则f(3)
.
a2-2a
1=a-1,则a的取值范围为
.
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7.(27)12
(210)
9
27
2
33037=__________.
48
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.若函数
1
是奇函数,则a
=_________
.
8
f(x)a
1
4x
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1
3
x22x5
,求其单调区间及值域.
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(x)
2x
2x.
(1)用函数单调性定义及指数函数性质证明:
f(x)是区间(0,
)上的增函数;
(2)若f(x)
52x
3,求x的值.
【课后作业】
(
)
A、(n)7
1
3
n7m7
B、12(3)43
3
C、4x3
y3
(xy)4
D、
39
33
m
3ab2
a3b2
(a,b为正数)的结果是(
)
1
1
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3b(a6b2)4
b
A、
B、ab
a
,y2
,y3
1
2
a
C、D、a2b
b
,则()
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A、y3y1
y2
B、y2
y1y3
C、y1y3y2
D、y1y2y3
(x)
axb的图象如图,其中
a、b为常数,则以下结论正确的选项是(
)
A、a1,b
0
B、a1,b0
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精选
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C、0
a1,b0
D、0a1,b0
ex
1的定义域是(
)
A、(0,
)
B、[0,
)
C、(1,)
D、[1,)
(x)
2x2
2(a
1)x1在区间[5,
)上是增函数,则实数
a的取值范围是(
)
A、[6,+
)
B、(6,
)
C、(
,6]
D、(
,6)
=4,5y=2,则52xy=
.
33
(5
)0
21=
.
4
8
ax3
3(a
0且a
1)的图象恒过定点____________.
(x)
a
1
是奇函数,则a=_________.
4x1
1
1
3,2
,求f(x)
1的最小值与最大值.
4x
2x
(x)
10x
10x
.
10x
10x
1)判断函数的奇偶性;
2)证明:f(x)是定义域内的增函数;
3)求f(x)的值域.
【拓展训练】
1
1
1
1
1
1216
128
124
122,结果是(
)
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精选
最全最适用的指数函数复****资料(精练+答案)
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1
1
1
1
1
1
A、11232
B、1232
C、1232
D、11232
2
2
ax
(b1)(a
0,a
1)的图像经过第一、三、四象限,则必然有(
)
A、a
1且b0
B、0
a1且b0
C、0
a1且b0
D、a
1且b1
{y|y
3x,x
R},T
{y|yx2
1,x
R},则SIT是
(
)
A、
B、T
C、S
D、有限集
(x)
2
f(x)(x0)
是偶函数,且
f(x)不恒等于零,则
f(x)(
)
1
2x
1
A、是奇函数
B、可能是奇函数,也可能是偶函数
C、是偶函数
D、不是奇函数,也不是偶函数
a|x|(a
1)的图象是(
)
164x
的值域是(
)
A、[0,
)
B、[0,4]
C、[0,4)
D、(0,4)
7.(2010重庆)函数
f
x
4x
1
)
2x
的图象(
A、关于原点对称
B、关于直线y=x对称
C、关于x轴对称
D、关于y轴对称
174x
8
0的解x
.
(x)
ax(a
0且a
1)
在区间[1,2]上的最大值比最小值大
a,则a=__________.
2
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1
1
3
x2
x
x2
3
,求
x
x2
3
2
2
的值.
2
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(a0且a1)在1,1上的最大值为14,求实数a的值.
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