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纠错码环与域的基本概念演示文稿.ppt

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纠错码环与域的基本概念演示文稿.ppt

上传人:太丑很想放照片 2023/3/26 文件大小:1.03 MB

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(优选)纠错码环与域的基本概念
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例R1全体整数构成环,用Z表示。
例R2全体偶数构成环。
例R3某一整数m的倍数全体构成环,如3的倍数全体…,-3,0,3,6,9,…,构成一个环。
例R4模整数m的全体剩余类构成环,称此环为剩余类环,用Zm表示。如模m=7所构成的全体剩余类:0,1,2,3,4,5,6构成环Z7,且为可换环。
例R5实系数多项式全体构成环。
例R6n阶方阵全体构成环。
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,b∈R,有
(1)a0=0a=0;
(2)a(-b)=(-a)b=-ab。
除了以上性质外,环中还有许多较特殊的性质。
(1)环中可以有零因子。设a、b∈R,且a≠0,b≠0,若ab=0∈R,则a、b为零因子,称有零因子的环为有零因子环。
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二、域
除上面所讲的群、格和环以外,域在编码理论中起着关键作用。域是定义了两种代数运算的系统。
,若在F中定义了加和乘两种运算,且满足下述公理:
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(1)F关于加法构成阿贝尔群。其加法恒等元记为0。
(2)F中非零元素全体对乘法构成阿贝尔群。其乘法恒等元(单位元)记为1。
(3)加法和乘法间有如下分配律:
a(b+c)=ab+ac
(b+c)a=ba+ca
则称F是一个域。
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例F1有理数全体、实数全体、复数全体对加法、乘法都分别构成域,分别称有理数域、实数域和复数域。且这3个域中的元素个数有无限多个,所以称它们为无限域。
例F20、1两个元素按模2加和模2乘构成域。该域中只有两个元素,记为GF(2)或F2。
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,则整数全体关于模p的剩余类:0,1,2,…,p-1,在模p运算下(模p相加和相乘),构成p阶有限域Fp(GF(p))。
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证明由前面已知,模m整数(m不一定为素数)剩余类集合构成交换环Zm,现在只需证明当m=p为素数时,非0元素有逆元即可。1为单位元,因为p为素数,因此任何小于p的数a和p均互素。所以,由欧几里德算法可知: 
(a,p)=1=Aa+Bp
在等式两边对p取模,则
1≡Aa(modp)
所以1=Aa
也就是剩余类中任一元素a均有逆元a-1=A。
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例F3以p=3为模的剩余类全体:0,1,2构成一个三阶有限域GF(3),它们的模3加法和乘法运算表如下所示:
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