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-让每一个人同等地提高自我
七年级数学上册知识点
第一章有理数
正数与负数
①正数:大于0的数叫正数。(依据需要,有时在正数前面也加上“+”)②负数:在从前学过的0之外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数拥有相反意义。③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界,是独一的中性数。
注意:①字母a能够表示随意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a还是0。(假如出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误
的,比如+a,-a就不可以做出简单判断)
②正数有时也能够在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
拥有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数能够表示拥有与该正数相反意义的量,比方:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
表示的意义
0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界限,0既不是正数,也不是负数。如:
(3)0表示一个切实的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比方以海平面为基准,则0米就表示
海平面。
注意:搞清相反意义的量:南北;东西;上下;左右;上升降落;高低;增添减少等
有理数
有理数
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都能够写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无穷不循环小数,不可以写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无穷循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数
注意:引入负数此后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8也是偶数,-1,-3,-5也是奇
数。
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0(0不可以忽略)
正分数负整数
分数负有理数
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负分数负分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的观点
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两头无穷延长的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三因素,三者缺一不行;⑶同一数轴上的单位长度要一致;⑷数轴的三因素都是依据实质需要规定的。
数轴上的点与有理数的关系⑴全部的有理数都能够用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右侧的点表示,负有理数可用原点左侧的点表示,0用原点表示。
⑵全部的有理数都能够用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数
与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右侧的数总比左侧的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
数轴上特别的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
能够表示什么数
a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
相反数
⒈相反数
只有符号不一样的两个数叫做互为相反数,此中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不一样,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它自己;相反数为自己的数是0。
相反数的性质与判断⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的
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对应点(0除外)在原点两旁,而且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点对于原点对称。
相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只需在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,而后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,而后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
相反数的表示方法
⑴一般地,数a的相反数是-a,此中a是随意有理数,能够是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示
数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
⑴一个正数的绝对值是它自己;
⑵一个负数的绝对值是它的相反数;
⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①假如a>0,那么|a|=a;
②假如a<0,那么|a|=-a;
③假如a=0,那么|a|=0
。
可概括为①:a≥0,<═>|a|=a
(非负数的绝对值等于自己;绝对值等于自己的数是非负数。
)
②a≤0,<═>|a|=-a
(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。
)
经典考题
如数轴所示,化简以下各数
|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,
|b+c|
解:由题知道,因为a>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0
,
所以|a|=a
,|b|=-b,
|c|=-c
,|a-b|=a-b
,|a-c|=a-c
,|b+c|=-(b+c)=-b-c
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值拥有非负性。所以,
a取任何有理数,都有
|a|≥0。即⑴0的绝对值是
0;绝对值是0的数是
:a=0<═>|a|=0
;
⑵一个数的绝对值是非负数,
:|a|
≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:
|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若
|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:
|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:
|a|=|b|
,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于
0,则这几个数就同时为
0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为
0,则有且只有这几个非负数同时为
0)
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,
求a+b+c的值
|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
解:因为|a+3|
≥0,
|2b-2|
,|c-1|
≥0,且
≥0
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所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-1|=0
即a=-3,b=1,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数对比较,左侧的总比右侧的小;⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a;②当a≤0时,|a|=-a
,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数
有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。如:|a|=5,则a=土5
有理数的加减法有理数的加减法
有理数的加法法例⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对
值;
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
有理数加法的运算律⑴加法互换律:a+b=b+a
⑵加法联合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,必定要依据需要灵巧运用,以达到化简的目的,往常有以下规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数联合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号联合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母联合法”;
④几个数相加获得整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形联合法”。
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
⑴当b>0时,a+b>a⑵当b<0时,a+b<a⑶当b=0时,a+b=a
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
有理数加减法一致成加法的意义
在有理数加减法混杂运算中,依占有理数减法法例,能够将减法转变成加法后,再依据加法法例进
行计算。
在和式里,往常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
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②按运算意义读作“负8减7减6加5”
有理数加减混杂运算中运用联合律时的一些技巧:Ⅰ.把符号相同的加数相联合(同号联合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)
(将减法变换成加法)
=-33+18-15-1+23
(省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23)
(把符号相同的加数相联合)
=-49+41
(运用加法法例一进行运算)
=-8
(运用加法法例二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相联合
(凑整法)
(++-+-(+
原式=(+++(+++
(将减法变换成加法)
=
(省略加号和括号)
=
(把和为整数的加数相联合)
=4-10+
(运用加法法例进行运算)
=
(把符号相同的加数相联合,并进行运算)
=
(得出结论)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相联合(同分母联合法)
3-1+3-2+1-7
524528
原式=(-3-
2)+(-
1+1)+(+
3-
7)
5
5
2
2
4
8
1
=-1+0-
8
1
=-1
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要一致后再联合(先一致后联合)
(+-(-3
3)+(-3
1)-(-10
2)-(+
4
8
3
原式=(+1)+(+3
3)+(-3
1)+(+102)+(-1
1)
8
4
8
3
4
1
+3
3
1
2
1
=
-3
+10-1
8
4
8
3
4
=(3
3-11)+(
1-31)+10
2
4
4
8
8
3
=21-3+102
2
3
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=-3+13
1
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=10
6
1
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Ⅴ.把带分数拆分后再联合(先拆分后联合)
-31
+106-12
1+47
5
11
22
15
原式=(-3+10-12+4)+(-
1+7)+(
6-
1)
5
15
11
22
=-1+4+11
1522
815
=-1++
7
30
.分组联合
2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+
+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后联合
1+3+5+7+99)-(2+4+6+8+100)
①有理数加法法例:
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝
对值。互为相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加,仍得这个数。
加法的互换律和联合律
②有理数减法法例:减去一个数,等于加这个数的相反数。
有理数的乘除法
法例一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数
相乘”的状况,假如因数超出两个,就一定运用法例三)
法例二:任何数同0相乘,都得0;
法例三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法例四:几个数相乘,假如此中有因数为0,则积等于0.
乘积是
1的两个数互为倒数,此中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为
a·1
=1(a≠0),就
是说a和1
a是1
1是a的倒数。
a
互为倒数,即
的倒数,
a
a
a
注意:①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只需把这个分数的分子、分母点颠倒地点即可;求带分数的倒数时,
先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒地点;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
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④倒数等于它自己的数是1或-1,不包含0。
有理数的乘法运算律
⑴乘法互换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,互换因数的地点,积相等。即ab=ba
⑵乘法联合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或许先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分派律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相
加。即a(b+c)=ab+ac
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0
1)乘除混杂运算常常先将除法化成乘法,而后确立积的符号,最后求出结果。
2)有理数的加减乘除混杂运算,如无括号指出先做什么运算,则依据‘先乘除,后加减’的次序进行。
有理数的乘方
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中,a叫做底数,n叫做指数。
1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混杂运算
做有理数的混杂运算时,应注意以下运算次序:
,再乘除,最后加减;
,从左到右进行;
,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号挨次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成a10n的形式(此中1a10,n是正整数),这种记数法是科学记
数法。
从一个数的左侧第一个非0数字起,到末位数字止,全部数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵照精准到哪一位就从这一位的下一位开始,而不是从数字的末端往前四舍五入。比方:精准到就
是而不是.
第二章整式的加减
整式
1、单项式:由数字和字母乘积构成的式子。系数,,判断代数式是不是单项式,重点要看代数式中数
与字母是不是乘积关系,即分母中不含有字母,若式子中含有加、减运算关系,其也不是单项式.
2、单项式的系数:是指单项式中的数字因数;
3、单项数的次数:是指单项式中全部字母的指数的和.
4、多项式:几个单项式的和。判断代数式是不是多项式,
个单项式称项,常数项,多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式的次数是指多项式里
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次数最高项的次数,这里是次数最高项,其次数是6;多项式的项是指在多项式中,每一个单
。
5、它们都是用字母表示数或列式表示数目关系。注意单项式和多项式的每一项都包含它前面的符号。
6、单项式和多项式统称为整式。注意:分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范:
①数与字母、字母与字母中的乘号能够省略不写或用“·”表示,并把数字放到字母前;
②出现除式时,用分数表示;
③带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;
④若运算结果为加减的式子,当后边有单位时,要用括号把整个式子括起来。
整式的加减
1、同类项:所含字母相同,而且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)没关。
2、同类项一定同时知足两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同,、字母的摆列次序没关
3、归并同类项:把多项式中的同类项归并成一项。能够运用互换律,联合律和分派律。
归并同类项的步骤:(1)正确的找出同类项;(2)运用加法互换律,把同类项互换地点后联合在一
起;(3)利用法例,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出归并后的结果。
4、归并同类项法例:归并同类项后,所得项的系数是归并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;
5、去括号法例:去括号,看符号:是正号,不变号;是负号,全变号。
6、整式加减的一般步骤:
一去、二找、三合
(1)假如碰到括号按去括号法例先去括号.(2)联合同类项.(3)归并同类项
第三章一元一次方程
一元一次方程
1、方程是含有未知数的等式。
2、方程都只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
注意:判断一个方程是不是一元一次方程要抓住三点:
1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程);
2)化简后方程中只含有一个未知数;
3)经整理后方程中未知数的次数是1.
一般形式:ax+b=0(a≠0)
注意:未知数在分母中时,它的次数不可以当作是1次。如13x,它不是一元一次方程。
x
3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。
4、等式的性质:1)等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;
2)等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
注意:运用性质时,必定要注意等号两边都要同时变;运用性质2时,必定要注意0这个数.
、解一元一次方程
在实质解方程的过程中,以下步骤不必定完整用上,
还要注意以下几点:
①去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘不含分母的项;分子是一个整体,去
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分母后应加上括号;去分母与分母化整是两个观点,不可以混杂;②去括号:遵照先去小括号,再去中括号,最后去大括号;不要漏乘括号的项;不要弄错符号;
③移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其余项都移到方程的另一边(移项要变符号)移项要变号;注意:移项时要超越“=”号,移过的项必定要变号。④归并同类项:不要丢项,解方程是同解变形,每一步都是一个方程,不可以像计算或化简题那样写
能连等的形式;
⑤系数化为1::字母及其指数不变系数化成1,在方程两边都除以未知数的系数a,获得方程的解。
不要分子、分母搞颠倒。
实质问题与一元一次方程
⑴列一元一次方程解决实质问题的一般步骤是:①审题,特别注意重点的字和词的意义,弄清有关
数目关系;②设出未知数(注意单位);③依据相等关系列
出方程;④解这个方程;⑤查验并写出答案(包含单位名称)。
⑵一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练教案。
二、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结)
⑴建模思想:经过对实质问题中的数目关系的剖析,抽象成数学模型,成立一元一次方程的思想.
⑵方程思想:用方程解决实质问题的思想就是方程思想.
⑶化归思想:解一元一次方程的过程,实质上就是利用去分母、去括号、移项、归并同类项、未知
数的系数化为1等各样同解变形,不停地用新的更简单的方程来取代本来的方程,最
后逐渐把方程转变为x=“未知”为“已知”的化归思想.
⑷数形联合思想:在列方程解决问题时,借助于线段表示图和图表等来剖析数目关系,使问题中的
数目关系很直观地展现出来,表现了数形联合的优胜性.
⑸分类思想:在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中常常需要分类议论,在解有关方
案设计的实质问题的过程中常常也要注意分类思想在过程中的运用.
三、数学思想方法的学****br/>,要明确每一步过程都作什么变形,应当注意什么问题.
,要擅长借助直观剖析法,如表格法,直线剖析法和图示剖析法等.
列方程解应用题的查验包含两个方面:⑴查验求得的结果是不是方程的解;
⑵是要判断方程的解能否切合题目中的实质意义.
实质问题的常有种类:
行程问题:行程=时间×速度,时间=行程,速度=行程
速度时间
(单位:行程——米、千米;时间——秒、分、时;速度——米/秒、米/分、千米/小时)
工程问题:工作总量=工作时间×工作效率,工作总量=各部分工作量的和
收益问题:收益=售价-进价,收益率=收益,售价=标价×(1-折扣)
进价
等积变形问题:长方体的体积
=长×宽×高;圆柱的体积
=底面积×高;铸造前的体积
=铸造后的体
积
利息问题:本息和=本金+利息;利息=本金×利率
四、一元一次方程典型例题
-3+3x=5是一元一次方程,则m=
.
解:由一元一次方程的定义可知
m-3=1,解得m=-3=0,解得m=3
所以m=4或m=3
警告:好多同学做到这种题型时就想到指数是
1,进而写成m=1,这里必定要注意
x的指数是(m
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2x+2-12x+9=9-9x,
-让每一个人同等地提高自我
3).
2是方程
ax2
2a3
)
x+5=0
的解,求
a
的值
.
-(
-
解:∵x=-2是方程ax2-(2a-3)x+5=0的解
∴将x=-2代入方程,
得a·(-2)2-(2a-3)·(-2)+5=0
化简,得4a+4a-6+5=0
a=1
8
点拨:要想解决这道题目,应当从方程的解的定义下手,方程的解就是使方程左右两边值相等
的未知数的值,这样把x=-2代入方程,而后再解对于a的一元一次方程就能够了.
(x+1)-3(4x-3)=9(1-x).
解:去括号,得
移项,得2+9-9=12x-2x-9x.
归并同类项,得2=x,即x=2.
点拨:本题的一般解法是去括号后将全部的未知项移到方程的左侧,已知项移到方程的右侧,其实,我们在去括号后发现全部的未知项移到方程的左侧归并同类项后系数不为正,为了减少计算的难度,我们能够依据等式的对称性,把全部的未知项移到右侧去,已知项移到方程的左侧,最后再写成x=a的形式.
1
1
1x
135
7
1.
8
6
4
2
分析:方程两边乘以
8,再移项归并同类项,得
1
1
x
1
51
6
4
3
2
相同,方程两边乘以
6,再移项归并同类项,得
1
x
1
3
1
4
2
方程两边乘以
4,再移项归并同类项,得
x1
1
2
方程两边乘以
2,再移项归并同类项,得
x=3.
说明:解方程时,碰到多重括号,一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分派律逐层去特号,而本题最简捷的方法却不是这样,是经过方程两边分别乘以一个数,达到去分母和去括号的目的。
5x
.
分析:方程能够化为
()
2
()
5
(
x)10
2
5
10
整理,得2()
5(5x
)
10(
x)
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