文档介绍：第2章范数理论及其应用
定义:如果V是数域K上的线性空间,且对于
V的任一向量x,对应一个实数值||x||,它满足
以下三个条件:
1)非负性: ||x||³0,且||x||=0Û x=0;
2)齐次性:||k×x||=|k|×||x||, kÎK;
3)三角不等式:||x+y||£||x||+||y||.
则称||x||为V上向量x的范数,简称为向量范数。
可以看出范数||×||为将V映射为非负数的函数。
注意:2)中|k|当K为实数时为绝对值,
当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的,
但是由于前面的讨论,我们知道任何n维线性空间
在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间,
因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。
下面讨论如下:
||×||为线性空间Vn的范数,任取它的一个
基x1,x2,…,xn,则对于任意向量x,它可以表示为
x=x1x1+x2x2+…+xnxn
其中,(x1,x2,…,xn)T为x的坐标。
(或Rn)中的范数如下:
||x||C =j(x)=||x1x1+x2x2+…+xnxn||
则容易验证||x||中的范数.
, 若||x||中的范数,定义Vn的范数如下:
||x||=f(x)=||x||C
其中x=x1x1+x2x2+…+xnxn。
则容易验证 f(x)确实为Vn的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维
复(或实)列向量空间的范数之间的关系。这也是为
我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由.
范数首先是一个函数,它将线性空间的任意
向量映射为非负实数。
范数与函数
性质1. 范数是凸函数,
即|| (1-l)x+ly||£(1-l)||x||+l||y||
其中 0£ l £ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. (范数的乘法)
若||×||为线性空间V上的向量范数,
则k||×|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.
性质3. 设||×||comp为Rm上的范数,且对
xÎ (R+)m为单调增加的(即,若x,yÎ(R+)m,
且xi£yi,那么||x||comp£||y|| comp成立.),那么,
对于给定的m个n维线性空间V上的
范数||×||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个
复合范数为||x||=||U(x)|| comp ,
其中,U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T.
证明:非负性和齐次性是显然的,仅需
证明三角不等式。
||x+y||=|| U(x+y)|| comp
£||U(x)+U(y)|| comp(因U(x+y) £U(x)+U(y))
£||U(x)|| comp+|| U(y)|| comp
=||x||+|| y||
例如. 若||×||f和||×||g为线性空间V上的两个
向量范数,则
(1). ||×||f + ||×||g 为V上向量范数。
(2). max{ ||×||f , ||×||g } 为V上向量范数。
(3) [(||×||f )2 + (||×||g)2]1/2为V上向量范数。
性质4.