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在不等精度直接测量时,由各测量值及其计算加权算术平均值的标准
xiσi
差时,有两个计算公式
式中各测量值的权;各测量值的标准差;单位权标准差;
:pi——σi——σ——
——加权算术平均值的标准差。
但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么,在这种情况下,采用哪个
公式更为合理呢?本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨,并给出了一般
性的原则。
二、公式的数学推导
在不等精度测量时,各测量值的权的定义式为:
测量结果的最佳估计值为:
则测量结果的不确定度评定为:
对式(5)求方差有
设各测量值的方差都存在,且已知分别为,即
xiD(xi)=
由式有2
(4)=σ/pi
从公式(1)的推导,我们可以看出,此时各测量值的方差(或标准差)必须是已
知的。而在实际测量中,常常各测量值的方差(或标准差)是未知的,无法直接应
用公式(1)进行不确定度评定。但是,从分析来看,如果能由各测量值的差残(其
定,当测量次数较多时,采用公式(2)评定不确定度更能真实地反映出这一组数
据的不确定度值,它包含了由随机效应引起的不确定度,也包含了由系统效应引
起的不确定度,因而更具有实验性质。现在的问题是,测量次数究竟为多少时才
是较少或较多呢?根据概率论与数理统计知识,单次测量的标准差与平均值的标
准差的关系为:,当σ一定时,n>10以后,已减少得非常缓慢。所以
常把n=10作为一个临界值。综上所述,当测量次数n<10时,用公式(1)进行计
算效果较好;当测量次数n≥10时,采用公式(2)来评定不确定度会更客观一些。
另外,还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性
测量,这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大时且本次测量条
件与以前的测量条件变化不大时,两个公式计算的结果应近似相等。否则本次测
量数据可能存在系统误差。
四、实例
[实例1]用国家基准器在相同的条件下连续3天检定某一基准米尺,检定的结
(3次测量取平均值),(,
(5次测量取平均值),试求最终的检定结果。
[解]由于测量条件相同,3天里的10次测量是等精度的。3个检定结果所以精
度不等,是因为每天测量的次数不同,所以其权为:
222
p1:p2:p3=σ/n1:σ/n2:σ/n3=3:2:5
所以,加权算术平均值为:
因各测量值的标准差未知,故应按公式估算,所以
σx(2)
[实例2]对某物理量进行9次直接测量,数据见下表,评定测量结果的不确定
度。
[解](1)计算各测量值的权:
由式(4)知
2
pi=σ/
令单位权标准差σ=50,则各测量值的权为:
p1:p2:p3:p4:p5:p6:p7:p8:p9
=1:1:1::::::
(2)计算最佳估计值:
(3)计算的标准差:
第一种方法;用公式(1)计算
第二种方法:用公式(2)计算
从本例看,两种方法计算的结果相差较大。依据第三节的原则,该例采用第一
种方法计算的结果为好。从对观测列的分析来看,,取值很分散,
xmax-xmin=132
似有系统误差存在。当系统误差大于随机误差时,测量值的变化规律会明显地为
系统误差所左右,因而无法用统计的方法得到正确的测量结果,原有的测量值也
就失去了意义。要有效地提高测量准确度,必须认真分析测量过程中系统效应的
影响,并采取措施,减小或消除其影响。