第三章2（21）.doc

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古典概型的特征和概率计算公式
学****目标 (重点).(重点).(重、难点).
预****教材P130-133完成下列问题:
知识点1 基本事件

试验的每一个可能结果称为基本事件,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件.
一次试验中只能出现一个基本事件.
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中,出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,共6个结果,这就是这一随机试验的6个基本事件.

(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中,随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成.
【预****评价】
“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是基本事件吗?
提示 不是.“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”包含一枚正面向上,两枚正面向上,所以不是基本事件.
知识点2 古典概型

(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型).

(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件.
(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.

对于任何事件A,P(A)=.
【预****评价】 判断给出的下列事件是否是古典概型(正确的打√,错误的打×)
(1)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件( )
(2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时( )
(3)从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率( )
(4)抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止( )
提示 (1)中由于点数的和出现的可能性不相等,故(1)不是;(2)中的基本事件是无限的,故(2)不是;(3)中满足古典概型的有限性和等可能性,故(3)是;(4)中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故(4)不是.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一 基本事件的定义及特点
【例1】 一个口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个基本事件?
(2)2个都是白球包含几个基本事件?
解 方法一 (1)采用列举法.
分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,则有以下基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).
(2)“2个都是白球”包含(1,2),(1,3),(2,3)三个基本事件.
方法二 (1)采用列表法.
设5个球的编号为a,b,c,d,e,其中a,b,c为白球,d,e为黑球.
列表如下:
由于每次取2个球,因此每次所得的2个球不相同,而事件(b,a)与(a,b)是相同的事件,故共有10个基本事件.
(2)“2个都是白球”包含(a,b),(b,c),(c,a)三个基本事件.
.
基本事件具有以下特点:(1)不可能再分为更小的随机事件;(2)两个基本事件不可能同时发生.
.
【训练1】 做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗骰子出现的点数,:
(1)试验的基本事件;(2)事件“出现点数之和大于8”;
(3)事件“出现点数相等”;(4)事件“出现点数之和等于7”.
解 (1)这个试验的基本事件共有36个,列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).
题型二 利用古典概型公式求概率
【例2】 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)事件A={三个数字中不含1和5};
(2)事件B={三个数字中含1或5}.
解 这个试验的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以基本事件总数n=10.
(1)因为事件A={(2,3,4)},
所以事件A包含的事件数m=1.
所以P(A)==.
(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},
所以事件B包含的基本事件数m=9.
所以P(B)==.
规律方法 :
(1)确定等可能基本事件总数n;
(2)确定所求事件包含基本事件数m;
(3)P(A)=.
:(1)首先确定是否为古典概型;(2)事件A是什么,包含的基本事件有哪些.
【训练2】 抛掷两枚骰子,求:
(1)点数之和是4的倍数的概率;
(2)点数之和大于5小于10的概率.
解 如图,基本事件与所描点一一对应,共36种.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个,即(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).
所以P(A)=.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=.
【探究1】 用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色.
(1)求3个矩形颜色都相同的概率;
(2)求3个矩形颜色都不相同的概率;
(3)求3个矩形颜色不都相同的概率.
解 设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、,可能的结果如图所示.
由图知基本事件共有27个.
(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图,知事件A的基本事件有3个,故P(A)==.
(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B,由图,知事件B的基本事件有6个,故P(B)==.
(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C.
由图,知事件C的基本事件有24个,
故P(C)==.
【探究2】 甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解 (1)甲校2名男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,2名女教师分别用E、(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
选出的2名教师性别相同的结果为(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),
(D,F),(E,F),共6种.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为=.
【探究3】 有A、B、C、D四位贵宾,应分别坐在a、b、c、d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就坐.
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
解 将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:
如上图所示,本题中的等可能基本事件共有24个.
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个基本事件,所以P(A)=.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个基本事件,所以P(B)==.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个基本事件,所以P(C)==.
规律方法 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.
课堂达标
,出现偶数的基本事件个数为( )


解析 因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个,它们分别是1,2,3,4,5,6
,故出现偶数的基本事件是3个.
答案 C
,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则所有可能的次序有:(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6种,其中B先于A,C通过的有:(B,C,A)和(B,A,C),共2种,故所求概率P==.
答案 B
、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是________.
解析 基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,甲站在中间的事件包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为P==.
答案
4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578),在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________.
解析 十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数”有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个;所以二位的“渐升数”有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,以3为十位比37大的“渐升数”有2个,分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15个,所以比37大的“渐升数”共有2+15=17个
,故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.
答案
,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,求这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率?
解 可看作分成两次抽取,第一次任取一张有5种方法,第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法,因为(B,C)与(C,B)是一样的,故试验的所有基本事件总数为10,两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A,B),(B,C),(C,D),(D,E)4种,故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P==.
课堂小结
,(A)=时,关键是正确理解基本事件与事件A的关系,从而求出m、n.
(画树状图和列表),注意做到不重不漏.
基础过关
,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 列树状图得:
共有12种情况,取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况为8种,所以所求概率为
.
答案 C
,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 把红球标记为红1、红2,白球标记为白1、白2,本试验的基本事件共有16个,其中2个球同色的事件有8个:红1、红1,红1、红2,红2、红1,红2、红2,白1、白1,白1、白2,白2、白1,白2、白2,故所求概率为P==.
答案 A
,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 用(i,j)表示第一次取得球编号i,第二次取得球编号j的一个基本事件(i,j=1,2,3,…8).则所有基本事件的总数n=64,其中取得两个球的编号和不小于15的基本事件有(7,8),(8,7),(8,8)共3种,故所求的概率P=.
答案 D