文档介绍：该【第五章中心力场 】是由【qinqinzhang】上传分享，文档一共【43】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【第五章中心力场 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。即角动量是守恒量。因而也是守恒量。
第五章中心力场
§
一、角动量守恒与径向方程
设质量为的粒子在中心力场中运动,则哈密顿量算符表示为:
对于势能只与r有关而与θ,
无关的有心力场,使用球坐标求
解较为方便。于是H可改写为:
现在是1页\一共有43页\编辑于星期一
在求解中心力场中粒子的能量本征方程时,选用
为力学量完全集是很方便的。这是因为:当选用了守恒量完全集(,,)来对态进行分类以后,属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。
能量本征方程为:
考虑到中心力场的特点:球对称性,选用球坐标系是方便的,
此时利用
x
z
球坐标
r
y
现在是2页\一共有43页\编辑于星期一
左边第一项称为径向动能算符,第二项称为离心势能。
H的本征方程
此式使用了角动量平方
算符L2的表达式:
现在是3页\一共有43页\编辑于星期一
取:
分离变量,径向方程可写为:
现在是4页\一共有43页\编辑于星期一
径向波函数或的归一化条件可写成:
,(不慢于)
求解方程时,可作以下替换,使得计算更方便,令:
代入式得:
由于波函数要求有限,所以要求
这就是径向方程的一个定解条件。
现在是5页\一共有43页\编辑于星期一
(1)不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或l(r),它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言,中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。
注意:
(2)在一定边界条件下求解径向方程,即可得出能量本征值E。对于非束缚态,E是连续变化的。对于束缚态,则E取离散值。
(3)在求解径向方程时,由于束缚态边界条件,将出现径向量子数nr.
现在是6页\一共有43页\编辑于星期一
二、两体问题化为单体问题
两个质量分别为m1和m2的粒子,相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为:
ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标
1
x
+
r1
r2
r
R
2
O
y
z
二体运动可化为:
I一个具有折合质量的粒子在场中的运动
II二粒子作为一个整体的质心运动。
现在是7页\一共有43页\编辑于星期一
可以证明:
其中——体系的总质量,
——约化质量或折合质量。
对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。
现在是8页\一共有43页\编辑于星期一
则二粒子体系的能量本征方程可化为:
此方程可分离变量,令
得:
现在是9页\一共有43页\编辑于星期一
分解为二个本征方程:
描述质心运动,是能量为EC的自由粒子的能量本征方程,EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
描述相对运动,E是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同,只不过应把m理解为约化质量,E理解为相对运动能量。
现在是10页\一共有43页\编辑于星期一