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Chapter7ConstrainedSeveralVariablesTechn-q概e述Summarize
工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题,即
minf(X)
X三Rn
(X)_0u=1,2...m
hv(X)=0v=1,2,..:.二)n
约束最优点不仅与目标函数的性质有关,也与约束函数的性质有关。因此,约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂,求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同,解决约束优化问题的方法分成二类:
直接法DirectMethod
寻优过程直接在设计空间的可行域D内进行,但对每一个迭代点*的必须进行可行性
(&(X(k)<0u=1,2,..,m..)和下降性(f(X)〉f(Xk*))检查。直接算法简单,直观性强,对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。但是它的计算量大、收敛速度慢,因此效率低,比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。这类算法包括随机方
向法、复合形法等。
间接法IndirectMethod
间接法的主要思路是,首先将约束优化问题转化为无约束优化问题,然后再用无约束优化方法来进行求解。间接解法分很多类,其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2惩罚函数法PenaltyMethod
在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似,都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。因此,用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列,即
Xp*)2."…,XkTX*。因此,惩罚函数法又称序列无约束最小化技术
SequentialUnconstrainedMinimizationTechn,i即eSUMT法。
7-2-1惩罚函数法的基本原理Principle
根据约束优化问题
minf(X)
XRn
(<0u=1,2.,m
hv(X)=0v=1,2..,.p::n
mp
构造新的函数一惩罚函数q>(X,r(k,r(k)=f(X+ri(kSG[gu(X)+r2(kSH[hv(X)]
ulvT
其中,G[gu(X)],Hv(X)是gu(X和hv(X)的复合函数;ri(k),r」k)是在迭代过程中随迭代次数k的增大而不断调整的参数,称为惩罚因子PenaltyFactor它们是单调增monotoneincreasing(decreasi或g)者单调减的正实数
数列positiverealnumbepkG[gu(X)噌)H[hv(X)称为惩罚项Penaltyter,其值为非负。
从惩罚函数的表达式可以看到,惩罚函数值在一般情况下总是大于原目标函数的值,即中之f。为了使惩罚函数中的最优解Xk最后能够收敛到原目标函数f的最优解X,—方面要构造合适的复合函数GIgJX)和H[hv(X)使其在惩罚函数的极小化过程中,当迭代点X(k不满足原约束条件时受到惩罚;另一方面,随着迭代次数k的增加,不断地调整惩罚因子"顷)的值,使惩罚项的惩罚作用越来越小并趋于消失。因此,构造的惩罚项应具有
如下性质
limr〔(kG[gu(X)]=0—
limr」k)H[hv(X)=0(k「.')
根据惩罚项的函数形式,惩罚函数法又分为内点惩罚函数法、外点惩罚函数法和混合惩罚函数法。
7-2-2外点惩罚函数法ExteriorPointPenaltyMethod
1).特点
用外点惩罚函数法求解约束优化问题时,惩罚函数定义在可行域外,在寻优过程中无约束的序列最优点XI*,X2,..Xk是从可行域的外部逼近原约束优化问题最优解X*的。在可行
域内部,原目标函数与惩罚函数的等值线重合(即④=f)而在外部,由于9至f惩罚起作用,惩罚函数的等值线有畸形的趋势。用外点法即可以求解不等式约束优化问题,又可以求
解等式约束优化问题。
仅有不等式约束的外点惩罚函数
(1)问题
minf(X)
(X)_0u=1,2m
惩罚函数
:(X”k)=f(Xlkrem-fgu(X)]T(X>(k>tmax[0,g(X)]fu+u_1
0;fl)仃⑵「「.
说明
0gu(X)<0式中,max[0,gr(X)=《惩罚因子r(k为箪调增的正数数列
gu(X)g(X)0
(I当迭代点满足约束条件时,产无论取何值都有r(k)(max[0,g(X)m2=0,
注u此时有二f惩罚项不起作用;
(I当迭代点不满足约束条件时,如g1(X)>0就有
r(kmin[0,g(X)}=r(kg;(X)>0表明惩罚项起作用了,迭代点X的离边界越远,+・
u_;
g2(X)项就越大,其惩罚作用也就越大,就迫使迭代点*(1°向可行域靠拢,最
终Tx*;
(II惩罚因子产是一个递增的正值数列,即0<Pd<H2)依,在计算过
程中一般按迭代式'书)=Cr的取,其中0>1(一般取5~10)。
(4迭代过程及算法框图(见教材P109)
选择初始点X(o)(可任选,但邛(X,rk)的无约束极值点均在可行域外),收敛精
度⑤(黄金,无约束,约束3个),确定r(1>0及C如(⑴=1,C=10);
置计数器k=1;
选用一种无约束算法,求中(X,rk)的无约束极值点xk(k=1,x);
[**i**.._.
Xk以kjqYexX=XkStop,1OT6);
。)心哨=Crgk=k+1goto3)。
⑸例题
例7-1用外点法求下列优化问题的最优解
minf(x)=ax
(x)=b-x<0
解:外点惩罚函数
所以在可行域外,惩罚函数中(x,(K)=ax+rk)(b—x)2,令0(x,㈤)=0,其无约束
的极值点为
x*(Kk)=b
a
3,佻)二ab
r(
_a
*.
*=0
1)
一
x--b
r(
4_ba
*
2)
-2b
x=0
2
r(
*b
3)
_a
x=-
;*_位
b
2
4
r(kj
二*
x=b
邛=ab(图略见教材)
平(x,依)=ax+rk){max[0,b-x2}
例7-2用外点法求下列优化问题的最优解
minf(X)=xxf
stg(X=1-x1三0
解:构造惩罚函数
(X,M=)2x22r(k)tmax[0,(-K)2
在可行域外有惩罚函数(X,依户为2-x22rk(("1)
一=2x「2Kk)(l-p=0j*
=2x2
(k)
联立求解得X=——(K>*=0
1J(k)
当rd)=*=;,0=
=
当r(3)=,=
r(=
当r(k)[:X*-[1,=lf=l
从例7-1和例7-2可以看到,外点法的寻优路线是从可行域外部逼近最优点的,但却永远不会到达约束线或进入可行域。因此,用外罚函数法得到的最终结果实际上仍然是不可行的点。
3)同时具有等式和不等式约束的外点惩罚函数惩罚函数为
纸Xj(k》=f(粉1(她血借[0,&(X)I书2(k)hv(X)
"和茸同为单调增正数列,「1⑻和妙可以取同样的值。
4)应用中的问题
⑴初始点X(o)的选择
可以任意在可行域内外选择初始点,但中(X,依)的无约束极值点均在可行域
外;
⑵惩罚因子初始值严和衰减系数C的选择
r(i和C的选择很有讲究。理论和实践都证明,C值取的越小,迭代次数就越
多,寻优效率就会越低;但取的过大,惩罚函数会出现严重扭曲,用无约束算法寻优会碰到困难,甚至导致失败。常取r(1)=1,0=5-10;
⑶约束裕量每
图7-1约束裕量法
..及夕卜点法的特点可知,由于k不可能趋于、因此,外罚函数的序列Xk只能是
一个无限接近约束边界的非可行点,也就是说该点不能严格地满足所有的约束条件。这种情况有时在工程上的某些场合是不允许的。为了解决这类问题,对那些必须严格满足约束条件引入一个约束裕量6,其几何意义就是将这些约束边界向可行
域内移动一段距离6,即约束条件成为gU(X)=g(X)_&20。这样求出的X;虽
不在新的可行域内,但它已经包括在原可行域内。应该注意,6不能取得很大,否则造成新的可行域与原来相差太大而失去了意义。一般取6=10八_10工。
7-2-2内点惩罚函数法
1)特点
与外点惩罚函数相反,内点惩罚函数是定义在可行域内的,并在可行域内求
惩罚函数的序列最优点X5,..Xk,即求解无约束问题时的探索点(迭代点)总
是保持在可行域内。但内惩罚函数法只能求解不等式约束优化问题。
内点惩罚函数
问题
minf(X)
X三Rn
st^j(X)<0u=1,2…,m
惩罚函数
/八m[m
维X"(k)=f(XMz=f(X+r(kZIng(X)
1u七gu(X)u=u
r>>0(1)⑵
惩罚因子r(k为单调减的正数。编程时一般取风中=。如0<e<1
例7-3用内点法求下列优化问题的最优解
minf(x)=ax
(x)=b-x<0
解:构造内点惩罚函数
(X,rk)=(k1
ax-r
b-x
Ek--(x,"ab2ark)
不难求出其极值点的表达式为它的变化趋势图略见教材。
例7-4用内点法求下列优化问题的最优解
minf(X)=x一x
(X)=1-0
解:构造惩罚函数
(X,ik)=xx2-r(k)ln(-x1)
:rk)
—=2x二0
,处1一%
由三
2x2=0
一*
.112r(k*A
联求解得xg&=0
2
-*1-.12(K)
当乂=时不满足g(X)=1_X<0舍去
2
4
七(k)
则有无约束极值点为X*=1,X=0
,
2
当r(1)=4X*幺2,)0邛=4f=4
当r(2).]2,0==572,022
当r(3)=0,36X*=1,1$6的=
当r(k一,0X*』1,:0审=1f=1
3)应用中的问题
(1初始点x(。的选择与外点法不同,X】⑼必须是一个可行点,它可以人为
指定也可以用随机等方法确定,最简单的是选择原设计访案。
⑵严和e的选择相比之下,户的选择对计算效率影响很大,确定它需要
一定的经验,对于较复杂的优化问题需通过多次试算决定。许多书上推荐其取
Hl)=150,常用”)=1,也可以按书上的经验公式来确定。而e的取值范围常在
~•之间。
4)内点法和外点法的比较
惩罚函数的定义范围及其极值点的趋势:
惩罚函数的表达式:
解决问题的范围:
各自的优点:
内点法的迭代过程应在可行域内进行,所以迭代初始点必须选在可行域内,而
外点法则无此要求,可以在全设计空间内选择初始点;内点法不适用于等式约束的优化问题,而外点法可以用,但最优点必须在约束边界上;外点法无法观察在优化过程中,可行域内设计点的目标函数值的变化情况,而往往这确是工程设计人员所关心的。而内点法在给定一个可行的初始设计方案以后,它将产生一系列目标函数得到改善的可以接受的设计方案。因为任何一个内点惩罚函数的极值点都在可行域内,只要设计要求允许,都可以选用。
Review?
PenaltyMethod
Exteriorpoint
Equality&inequality
X*—.Xoutoffeasibleset
:(X,rm)=f(XM[g(X)]=f«r(Aimax[0,g(X)])
1u工工u
0:::功5二1(2)<・・・<・・)::疆=功如1
Interiorpoint
Inequality
__*__*
Xk「Xinfeasibleset
或X"(k)=f(X*(k)\T=fmX工r(k)糊(X)u'uu
ra>r(2)0rk+=rkee<1