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静矩和形心
惯性矩和惯性积
惯性矩和惯性积的
平行移轴和转轴公式
主惯性轴和主惯性矩
组合截面惯性矩的计算
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
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第五节
附录Ⅰ 截面的几何性质
第一节静矩和形心
一、静矩(面积矩)定义:微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为和
截面(面积A)对z轴和y轴的静矩分别为:
静矩为代数值。静矩单位:
不同截面对同一坐标轴的静矩不同;同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为zc、yc,将面积视为平行力(即看作等厚、均质薄板的重力),由合力矩定理可得:
当Sz=0或Sy=0时,必有yc=0或zc=0,可知截面对某轴的静矩为零时,该轴必通过截面形心;反之,若某轴通过形心,则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式:
三、组合截面的静矩:n个简单图形组成的截面,其静矩为:
四、组合截面形心公式:
例5-1求图示T形截面形心位置。
解:取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。
分解图形为1、2两个矩形,则
若分解为1、2、3三个矩形,则
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定义:平面图形内,微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。
特点:①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
单位:
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
惯性矩是对某轴而言的,同一截面对不同轴的惯性矩值不同。
惯性矩单位:m4或mm4;惯性矩恒为正值。
简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
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三、惯性积:
例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
解:取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则:
取微面积dA=hdz,则:
例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解:取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则:
取微面积dA=dzdy,则:
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第三节惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式:
注意:y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。
解:(1)确定形心坐标yc.
(2)计算形心主惯性矩:
(z、y轴即形心主轴)
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一、静矩:
性质:截面对某轴的静矩为零时,该轴必通过截面形心;
二、极惯性矩:
实心圆截面:空心圆截面:
三、惯性矩:
四、惯性积:
矩形截面:圆形截面:
几何关系:
五、平行移轴公式:
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六、主惯性轴和主惯性矩:
形心主惯性轴(形心主轴)—通过形心的主惯性轴;
形心主惯性矩(形心主惯矩)—截面对形心主轴的惯性矩。
主惯性轴(主轴)—使的这对正交坐标轴;
主惯性矩(主惯矩)—截面对主惯性轴的惯性矩;
七、平面图形几何性质的几何意义:
:图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度;
:图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度;
:图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度;
:图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。
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