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第一章综合能力检测
时间120分钟,总分值150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的)
1.△ABC中,sinA=sinB是∠A=∠B的( )
[答案] C
[解析] △ABC中,sinA=sinB⇔A=B.
p或q
、q
、q
、q
、q
[答案] C
[解析] ∵綈(p或q)假,∴p或q真,
∴p与q至少一真.
a∈M,那么b∉M
∉M,那么b∉M
∉M,那么a∈M
∉M,那么b∈M
∈M,那么a∉M
[答案] D
b∈M作条件,条件的否认a∉M作结论,应选D.
13
|x-a|<1成立的充分非必要条件是<x<,那么实数a的取值范围是
22
( )
13
A.<a<
22
13
B.≤a≤
22
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第一章综合能力检测
31
>或a<
22
31
≥或a≤
22
[答案] B
[解析] |x-a|<1⇔a-1<x<a+1
1313
由题意知,(a-1,a+1)那么有Error!,且等号不同时成立解得≤a≤,应选B.
(22)22
={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-
n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( )
>-1,n<5
<-1,n<5
>-1,n>5
<-1,n>5
[答案] A
[解析] ∵P∈A∩∁UB,
∴P∈A且P∉B,
∴Error!,
∴Error!,应选A.
、B、C、D不正确的选项是( )
,那么AD与BC共面
,那么AD与BC是异面直线
=AC,DB=DC,那么AD=BC
=AC,DB=DC,那么AD⊥BC
[答案] C
*
{an},“对任意的n∈N,点Pn(n,an)都在直线y=3x+2上〞是“{an}为等差
数列〞的( )
[答案] A
[解析] 点Pn(n,an)在直线y=3x+2上,即有an=3n+2,那么能推出{an}是等差数
列;但反过来,{an}是等差数列,an=3n+2未必成立,所以是充分不必要条件,应选A.
8.(·福建文,8)假设向量a=(x,3)(x∈R),那么“x=4”是“|a|=5”的( )
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第一章综合能力检测
[答案] A
[解析] 此题主要考查充分必要条件问题.
当x=4时,|a|=42+32=5
当|a|=x2+9=5时,解得x=±4.
所以“x=4〞是“|a|=5”的充分而不必要条件.
y=ax2+bx+c的开口向下,那么集合{x|ax2+bx+c<0}≠∅
[答案] D
[解析] 假设抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,又x∈R,那么必存在x,使ax2+bx+
c<0.
x|ax2+bx+c<0}≠∅,那么抛物线y=ax2+bx+c的开口向下.〞
当a
xx1
p:∃x∈R,sin2+cos2=
1222
p2:∃x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny
1-cos2x
p:∀x∈[0,π],=sinx
32
π
p:sinx=cosy⇒x+y=
42
,p4
,p4
,p3
,p4
[答案] A
xxπ
[解析] p∀x∈R,sin2+cos2=1;px=y=时,
12222
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第一章综合能力检测
sin(x-y)=sinx-siny=0.
p3
∵∀x∈[0,π],sinx>0,
1-cos2x
∴=|sinx|=sinx.
2
π7ππ
p=cosx+y=.
4632
2ππ
11.“θ=〞是“tanθ=2cos〞的+(θ )
3(2)
[答案] A
2ππ
[解析] 解法一:∵θ=为方程tanθ=2cos的解,+θ
3(2)
2ππ
∴θ=是tanθ=2cos成立的充分条件;+θ
3(2)
8ππ
又∵θ=也是方程tanθ=2cos的解,+θ
3(2)
2ππ
∴θ=不是tanθ=2cos的必要条件,应选+θA.
3(2)
π
解法二:∵tanθ=2cos,+θ
(2)
1
∴sinθ=0或cosθ=-,
2
π
∴方程tanθ=2cos的解集为+θ
(2)
A=Error!,
2π
显然A,应选A.
{3}
、b、c表示三条直线,α、β
⊥α,假设c⊥β,那么α∥β
⊂β,c是a在β内的射影,假设b⊥c,那么b⊥a
⊂β,假设b⊥α,那么β⊥α
⊂α,c⊄α,假设c∥α,那么b∥c
[答案] C
c⊥α,假设α∥β,那么c⊥βb⊂β,c是a在β内的射影,假设b⊥a,那么b⊥c.
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第一章综合能力检测
二、填空题(本大题共4个小题,每题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
p:|x|+|x-1|≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)xm的取值范围是________.
[答案] 1<m<2
[解析] 假设pm≤1.
假设q3m>1,所以m<2,假设p真q假,那么m∈∅.
假设p假q真,那么1<m<2.
综上所述,1<m<2.
f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于________对称,那么函数g(x
[答案] 可以填以下几种情形之一:
①x轴,-3-log2x
②y轴,3+log2(-x)
③原点,-3-log2(-x)
④直线y=x,2x-3
:a+b≠5,q:a≠2或b≠3,那么p是q的________条件.
[答案] 充分不必要
a+b≠5,那么a≠2或b≠3”a=2且b=3,那么a+b=5”
∴p⇒q即有:p是q的充分条件.
同理:p不是q的必要条件.
∴p是q的充分条件,但不是必要条件.
16.(·四川文,16)设S为实数集R的非空子集,假设对任意x,y∈S,都有x+y,x
-y,xy∈S,那么称S
①集合S={a+,b为整数}为封闭集;
②假设S为封闭集,那么一定有0∈S;
③封闭集一定是无限集;
④假设S为封闭集,那么满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.
[答案] ①②
[解析] 此题考查根据所给信息解决实际问题的能力,要注意从根本概念,根本公式着
手,理解题目中给出的信息是什么.
对于①②都正确,对于③,封闭集不一定是无限集,例如当S={0}时,S是有限集,对
于④不正确,例如当S={0},M是自然数集N时,M不是封闭集.
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解容许写出文字说明,证明过程或演算步
骤)
p,那么q〞.
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(1)偶数能被2整除;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角不相等.
p那么q
[解析] “假设p那么q〞形式:
“假设一个四边形是菱形,那么它的对角线互相垂直〞
x
p:lg(x2-2xq:|1-pqx的取值范围.
2
[解析] 由lg(x2-2x-2)≥0得x2-2x-2≥1,即x2-2x-3≥0,
即(x-3)(x+1)≥0,
∴x≥3或x≤-1.
xx
由|1-|<1,-1<1-<1
22
∴0<x<4.
q为假,
∴x≤0或x≥4,
那么{x|x≥3或x≤-1}∩{x|x≤0或x≥4}
={x|x≤-1或x≥4},
∴满足条件的实数x的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞).
20.(本小题总分值12分)p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,假设p是q的充分
不必要条件,求实数a的取值范围.
[解析] p:A={x|x<-2或x>10},q:b={x|x<1-a或x>1+a,a>0}如图
依题意,p⇒q,但q⇒/p,说明AB,那么有
Error!且等号不同时成立,解得0<a≤3
∴实数a的取值范围是0<a≤3
21.(本小题总分值12分)求使函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x
轴上方成立的充要条件.
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[解析] 要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是:
Error!或Error!
解得1<a<19或a=1,故1≤a<19.
所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.
22.(本小题总分值14分)证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点在点(m,0)
的两侧的充要条件是af(m)<0.
bb2
[解析] 充分性:设Δ=b2-4ac≤0那么af(x)=a2x2+abx+ac=a2(x+)2-+ac
2a4
b1
=a2(x+)2-(b2-4ac)≥0,
2a4
所以af(m)≥0,这与af(m)<0矛盾,即b2-4ac>0.
2
故二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)有两个不等的零点,设为x1,x2,且x1<x2,从而
f(x)=a(x-x1)(x-x2),
2
af(m)=a(m-x1)(m-x2)<0,所以x1<m<x2.
必要性:设x1,x2是方程的两个零点,且x<x2,由题意知x1<m<x2,
因为f(x)=a(x-x1)(x-x2),且x1<m<x2.
2
∴af(m)=a(m-x1)(m-x2)<0,即af(m)<0.
综上所述,二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
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