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吴宝树 20180229
在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转变成函数,利用函数的性质,经过求导,利用单调性求出极值、最值。
1、已知函数

的定义域为

。
<Ⅰ)求实数
<Ⅱ)研究
<Ⅲ)求证:

的值;
是否是

上的单调函数?若是,请证明;若不是,请说明原由;
, <其中为自然对数的底
数)。
2、
备用练****br/>1、已知函数
<Ⅰ)若

,试确定函数

的单调区间;
<Ⅱ)若

,且关于任意

,

恒成立,试确定实数

的取值范围;
<Ⅲ)设函数

,求证:

.
解析:本小题主要观察函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,观察运用导数研
究函数性质的方法,观察分类谈论、化归以及数形结合等数学思想方法,观察解析问题、
解决问题的能力。
2、设 ,对任意实数 ,记
<Ⅰ)求函数的单调区间; <Ⅱ)求证:<ⅰ)当时,
对任意正实数成立;
<ⅱ)有且仅有一个正实数 ,使得关于任意正实数成立。
参照答案:
1、已知函数的定义域为。
<Ⅰ)求实数的值;
<Ⅱ)研究是否是上的单调函数?若是,请证明;若不是,请说明原由;
<Ⅲ)求证: , <其中为自然对数的底
数)。
解:<Ⅰ)由题意得关于的不等式的解集是区间 ,
则是方程的根,因此。
经检验时,函数的定义域为 .
即吻合题意. 3分
(Ⅱ> ,设 ,则
5分
令 ,则
即是上的减函数 7分
因此当
时,
=0,则
<0.
因此
是(0,
上的减函数,而
是(0,
上的减函数,
则
是
上的单调增函数9分
(Ⅲ>先证不等式
(
成立.
设 ( ,则 ,
(0
11
13
14
2
备用练****br/>1、已知函数
<Ⅰ)若 ,试确定函数的单调区间;
<Ⅱ)若 ,且关于任意 , 恒成立,试确定实数的取值范围;
<Ⅲ)设函数 ,求证: .
解析:本小题主要观察函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,观察运用导数研究函数性质的方法,观察分类谈论、化归以及数形结合等数学思想方法,观察解析问题、解决问题的能力。
解:<Ⅰ)由得 ,因此 .
由得 ,故的单调递加区间是 ,
由得 ,故的单调递减区间是 .
<Ⅱ)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意
得 .
①当时, .此时在上单调递加.
故 ,吻合题意.
②当时, .当变化时的变化情况以下表:
单调递减极小值单调递加
由此可得,在上, .
依题意, ,又 .综合①,②得,实数的取值范围是
.
<Ⅲ) ,
,
,
由此得,
故

.
2、设

,对任意实数

,记
<Ⅰ)求函数

的单调区间;

<Ⅱ)求证:

<ⅰ)当

时,
对任意正实数

成立;
<ⅱ)有且仅有一个正实数 ,使得关于任意正实数成立。
解析:本题主要观察函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合
、化归 <转变)思想方法
<I)解:
.
由
,得
.因为当
时,
,
当
时,
,当
时,
,
故所求函数的单调递加区间是
,
,单调递减区间是
.
<II)证明:<i)方法一:
令
,则
,
当
时,由
,得
,当
时,
,
因此在
数成立.
方法二:

内的最小值是

.故当

时,

对任意正实
对任意固定的 ,令 ,则 ,
由 ,得 .当时, ;当时, ,
因此当时, 获取最大值 .因此当时, 对任意正
实数成立.
<ii)方法一:
.由<i)得, 对任意正实数成立.
即存在正实数 ,使得对任意正实数成立.
下面证明的唯一性:
当 , , 时, , ,
由<i)得, ,再取 ,得 ,
因此 ,即时,不满足对任意
都成立.
故有且仅有一个正实数 ,使得对任意正实数成立.
方法二:对任意 , ,
因为关于的最大值是 ,因此要使对任意正实数成立的充分
必要条件是:
,即 , ①
又因为 ,不等式①成立的充分必要条件是 ,因此有且仅有一个正实数
,
使得对任意正实数成立.